双线性分数次极大算子的交换子在Multi-Morrey空间上的紧性

郭庆栋, 周 疆

(新疆大学 数学与系统科学学院, 新疆 乌鲁木齐 830046)

1 引言及预备知识

设f是定义在Rn上的局部可积函数,0<α

由分数次极大函数和局部可积函数b生成的交换子定义为

Mα,b(f)(x)=

其中上确界取遍Rn中所有包含x的球B.交换子Mα,b的有界性已经被许多作者研究,如文献[1-3].

最近,多线性算子引起了许多作者的研究兴趣,它是单线性的一种推广.1978年,多线性算子被Coifman等[4]开始研究,后来Calderón把交换子与多线性理论结合研究,之后又被Grafakos等[5]系统研究.在多线性情形中,Calderón-Zygmund算子的交换子和极大算子的交换子被人们广泛关注.2015年,Cao等[6]研究了如下的多线性分数次极大函数

其中

1

Mp0p(Rn)={f(x)∈Lploc(Rn):‖f‖Mp0p=

其中

类似于双线性算子,Ding等[16]首次给出次双线性算子的紧性的定义.

定义 1.1设X、Y、Z是赋范线性空间,Br,X={x∈X:‖x‖≤r}表示赋范线性空间X中以原点为中心,r为半径的闭球,S是一个次双线性算子,如果S(B1,X×B1,Y)在Z中是一个准紧集,则S:X×Y→Z是一个紧算子.

由于文献[15]表明Multi-Morrey范数严格小于乘积Morrey范数,根据上述定理可得如下推论.

和

和

2 引理及其证明

在本文的定理证明中,需要下述引理.

其中

证明下面分2种情形讨论.

情形1r≤|t|.对任意的y1∈B2,注意到

|x+t-y1|≤|x-y1|+|t|≤

C(r+|t|)≤C|t|,

则有

C|t|Mα(f1,f2)(x)≤

C|t|Mα,s(f1,f2)(x).

情形2r>|t|.通过加一项减一项,则有

和

则有

J1+J2+J3.

当y1∈B1时,有

|x+t-y1|≤|x-y1|+|t|≤Cr,

则

|f1(y1)||f2(y2)|dy1dy2≤

C|t|Mα,s(f1,f2)(x).

下面处理J2.对任意的1

|b1(x+t)-b1(y1)|=

则有

|f1(y1)||f2(y2)|dy1dy2≤

类似于J2的过程,可得

至此,完成了引理2.1的证明.

引理 2.2设1

证明下面证明结论(a)成立.

|Miα,b(f1,f2)(x)-Miα,v(f1,f2)(x)|≤

|f1(y1)||f2(y2)|dy1dy2-

|f1(y1)||f2(y2)|dy1dy2≤

|f1(y1)||f2(y2)|dy1dy2=

Miα,b-v(f1,f2)(x).

由上可知结论(a)成立.结论(b)和(c)与(a)的证明过程类似,此处省略.

3 定理的证明

下面给出定理的证明.由于定理1.2的证明过程与定理1.1类似,只给出定理1.1的证明.

‖bi-bηi‖BMO<η.

(1)

根据引理2.3,只需证明子集Eη满足条件(i)～(iii)就可证得定理1.1.实际上,通过引理2.2和(1)式,可得下面3个结论:

(2)

其中

Cη→0,η→0,

(3)

和

Cη→0,η→0.

(4)

上一致成立即可.

|f1(y1)||f2(y2)|dy1dy2+

|f1(y1)||f2(y2)|dy1dy2≤

(2‖b1‖∞+2‖b2‖∞)×

(2‖b1‖∞+2‖b2‖∞)Mα(f1,f2)(x).

‖Mα(f1,f2)(x)‖Mq0q≤

因此(i)成立.

下面证明(ii)成立,即

对任意2个固定的点x,t∈Rn,且|t|<1,不失一般性,可以假设

|f1(y1)||f2(y2)|dy1dy2≥

(5)

当x+t∈B(x0,r+|t|)=:B2,有

|f1(y1)||f2(y2)|dy1dy2≤

(6)

根据(5)和(6)式有

|f1(y1)||f2(y2)|dy1dy2-

|f1(y1)||f2(y2)|dy1dy2≤

|f1(y1)||f2(y2)|dy1dy2-

|f1(y1)||f2(y2)|dy1dy2≤

‖▽b1‖∞|t|Mα,s(f1,f2)(x)+

类似可得

因此,对于1

显然可得

下面证明(iii)成立.假设R很大,使得

suppb1∪suppb2⊂BR:=B(0,R),

则对于|x|>A≥max{2R,1}有

根据Bx,且|x|>A≥max{2R,1},以及B∩suppb1≠∅,可得|B||x-R|n|x|n,因此有

对上述不等式两边同时升q0次方,以及在范围|x|>A上同时积分

类似可得

因为

所以,当A→∞时,有