基于解析解的高烈度地震区隧道减震层减震机理研究

肖红武, 陈 涛

(1.中铁二十三局集团有限公司， 四川成都 610072；2. 中铁二十局集团有限公司海外部， 陕西西安 710016)

1 概述

我国存在大量的高烈度地震区，如在隧道衬砌体系中设计减震层，往往是在初期支护与围岩之间设置减震层，隧道衬砌减震体系为“围岩-减震层-衬砌”体系[1]。但由于我国大多数隧道普遍采用新奥法施工，锚喷支护结构用于初期支护，使得减震层不易施作。一些学者也对“围岩-初期支护-减震层-二次衬砌”体系进行了研究[2-4]，由图1(a)所示。

(a)减震层布置示意

(b)减震层布置示意图1 带减震层的衬砌模型

由减震层将初期支护与二次衬砌连接起来，力学模型的处理：将处于初期支护、二次衬砌之间的减震层，简化为弹簧连接，假定弹簧弹性劲度系数为kc；由文献可知[5-7]，可以将初期支护等效为弹性地基上的Timoshenko梁，见图1(b)中的2#梁，初期支护与围岩之间的接触作用，可通过设地层围岩的弹性地基抗力系数为kg来简化，二次衬砌也可等效为另一根Timoshenko梁，见图1b中1#梁，从而可以得到叠合梁模型，其中T1、T2分别代表地震过程二次衬砌、初期支护所受的纵向挤压。

2 控制方程

由文献[5,8]可知，按照Timoshenko梁模型，二次衬砌(1#梁)的动力学方程，可以写为式(1)：

(1)

其中，κGA1为1#梁截面的抗剪刚度；ρ为梁密度；G为梁的剪切模量；A1为1#梁截面面积；T1为1#梁所受的轴力；α为轴力的跃迁系数，Ψ1为1#梁的转角；w1为1#梁横截面方向的竖向动力响应；EI1为1#梁抗弯刚度；κ为梁的剪切修正系数；b1是1#梁的宽度、kc是减震层与1#梁接触的弹性地基抗力系数。

借鉴文献[9-10]，式(1)化简为式(2)：

(2)

此时，f(x,t)的表达式如下：

(3)

设假设动力响应为简谐形式[9]，则可假设：w1(x,t)=W1(x)eiΩt,w2(x,t)=W2(x)eiΩt,Ψ1(x,t)=Ψ1(x)eiΩt可以得到式(4)：

(4)

(5)

2#梁与1#相同的推导步骤，1#梁(初期支护)的动力学方程表示为式(6)：

(6)

(6)式中2#梁的常量、变形符号定义基本同1#梁，不再赘述，其中，wg-t是地层围岩的竖向(梁的横截面方向)地震外激励位移响应，kg是围岩的弹性地基抗力系数，因此，式(6)简化为式(7)：

同样设w2(x,t)=W2(x)eiΩt,Ψ2(x,t)=Ψ2(x)eiΩt可以得到式(7)：

(7)

(8)

2.1 复合衬砌动力控制方程的矩阵化形式

由1#、2#梁的动力控制方程式(4)、式(7)，可得到叠合梁体系的动力系统方程组：

(9)

方程组式(9)是一个耦合微分方程组，可改写成矩阵形式，便于使用积分变换法，解出耦合微分方程组，经过整理，式(9)的矩阵形式为：

(10)

进一步简化成向量矩阵表达式：

(11)

(12)

2.2 带减震层的衬砌动力响应解析解

借鉴作者已有的单梁动力响应的成果[8]，欲求解叠合梁模型的动力响应，首先要求出其格林函数，根据格林函数G(x,ξ)的数学定义和物理意义[8-10]，引入狄拉克函数δ(x)，解叠合梁体系模型的格林函数解，就是解以下微分方程：

(13)

对式(13)进行拉普拉斯变换可以得到式(14)：

(14)

设定F(s)=Is4+As2+B，可知F(s)是可逆的，则得到式(15)：

(15)

要对式(15)进行拉普拉斯逆变换，需要做矩阵表达式F(s)-1s3+F(s)-1As，F(s)-1s2+F(s)-1A、F(s)-1s、F(s)-1、F(s)-1[exp(-ξ1s) exp(-ξ2s)]T等等因子的拉普拉斯逆变换。由此可见，要解拉普拉斯逆变换，就要先解矩阵F(s)-1。

为了求解F(s)-1，以下设矩阵F(s)为：

(16)

因而，可以得到矩阵F(s)的逆矩阵F(s)-1为：

(17)

其中，Δ(s)=a1a2-b1b2，并且：

(18)

因此， 式(15) 变为：

(19)

(20)

其中，ξ=[ξ1ξ2]，

(21)

在式(21)中，H(x-ξ)是阶跃函数的矩阵形式，式(21)的各式n阶导数为：

(22)

式中：

(23)

2.3 特定边界条件下的带减震层的复合衬砌解析解

由于篇幅有限，仅考虑叠合梁两端自由边界条件下，叠合梁体系的动力响应格林函数。假定上、下梁的边界条件相同(均为两端自由的边界)，在隧道衬砌节段的长度为L，两端自由边界条件下[8-9]，对应的常数项为：

(24)

由边界条件可知，得出两端自由边界条件下的格林函数为：

(25)

根据另一组边界条件，确定格林函数的方程为：

(26)

式中：

(27)

进一步得到：

(28)

此时，可以确定W(0)、W′(0)，进一步确定带减震层隧道衬砌的格林函数。

(29)

3 解析解的结果分析

为了简化解析解的结果分析，假定初期支护不考虑轴力，仅二次衬砌轴力(T2=8MPa)。假设减震层的弹簧劲度系数为kc=0.177MPa。此处取地震外激励频率Ω=6πrad/s，取地震波入射角θ=5°，竖向的地震荷载激励如下[11-12]：

表1 围岩力学指标

表2 隧道所处场地的地震特性参数

表3 衬砌力学属性

图2 衬砌断面

3.1 减震效果评价

当强震区的衬砌节段长度取12 m时，比较了带减震层工况下的衬砌动力响应与无减震层模型下的衬砌动力响应，见图3，可以看出，有减震层的二次衬砌，其位移比无减震层衬砌的大，并且有减震层时初期支护的位移最大。

图3 有、无减震层的衬砌位移响应比较

图4可以看出，与“有减震层的二次衬砌”的工况相比，“无减震层模型下衬砌”的内力要明显大得多。由此得出因为设置了初期支护与减震层，使得二次衬砌的内力响应(弯矩、剪力)大大降低。最终可以得出结论：“围岩-初期支护-减震层-二次衬砌”体系中的减震层能够有效降低二次衬砌的内力响应，隧道衬砌结构减震效果较好。

(a)有、无减震层的衬砌弯矩响应比较

(b)有、无减震层的衬砌剪力响应比较图4 有、无减震层的的衬砌内力响应比较

3.2 不同的减震层(弹性抗力系数)的减震效果

强震区往往衬砌会多设置变形缝，以利于地震过程中衬砌消耗能量，此处假设衬砌长度为6 m时，不同减震层弹性劲度系数条件下的位移峰值响应，如图5所示。当时，二次衬砌的峰值位移响应为0.92 cm；当时，二次衬砌的峰值位移响应为43.75 cm，减震层弹性劲度系数增大导致了衬砌峰值位移响应增大。

图5 不同减震层弹性劲度系数下的衬砌位移响应

虽然随着减震层弹性劲度系数的逐渐增大，二次衬砌与初期支护的位移峰值的绝对值都呈增大的趋势，但是，初期支护的位移响应幅度增加有限，而二次衬砌的位移响应有较大幅度提升。

初期支护与二次衬砌在不同弹性劲度系数条件下的弯矩峰值响应，如图6所示，可以看出不同减震层对初期支护弯矩响应的影响有限，而对二次衬砌弯矩峰值响应的影响大一些(但幅值依然不大)，究其原因，初期支护主要承担由地震引起的附加弯矩，与初期支护所承受的附加弯矩相比，二次衬砌的附加弯矩小得多，几乎无影响。

(a)不同减震层的初期支护弯矩响应

(b)不同减震层的二次衬砌弯矩响应图6 不同减震层弹性劲度系数下的衬砌弯矩响应

综合图5、图6，初期支护受减震层弹性劲度系数的影响较小，二次衬砌受减震层弹性劲度系数的影响大一些。随着减震层弹性劲度系数的逐渐增大，二次衬砌的位移响应和弯矩响应也逐渐增大，但整体量级并不大。

与弯矩峰值响应类似，不同减震层弹性劲度系数下的剪力峰值响应也出现类似的规律，如图7所示。在减震层弹性劲度系数逐渐增加的同时，初期支护所承受的剪力响应基本不变，其剪力基数水平依然较高；二次衬砌所承受的剪力响应也逐渐增加，但其剪力基数水平仍然较低。这是由于初期支护主要承担了由地震引起的附加剪力，在减震层的作用下，二次衬砌所承受的附加剪力峰值显著减小，可以忽略。

(a)不同减震层的初期支护剪力响应

(b)不同减震层的二次衬砌剪力响应图7 不同减震层弹性劲度系数下的衬砌剪力响应

3 振动台试验

由上述分析可知，在“围岩-初期支护-减震层-二次衬砌”体系下，二次衬砌因减震层的存在，大大减小了地震附加内力，减震层达到了减震的效果。

结合大型物理模型振动台试验来验证减震层的减震效果，振动台的主要指标如表4。

表4 振动台参数

振动台的尺寸为5 m×5 m，围岩相似性材料的主要指标：几何相似比CL=25、泊松比CV=1、重力相似比Cx=1，密度相似比Cγ=1.29、粘聚力相似比Cc=32.25、模拟围岩的相似性材料为：粉煤灰(F类，二级)、机油(40JHJ，密度0.88 g/cm3)、干河砂(中粗，含水率0.75 %)。本次试验中制作的微粒混凝土的衬砌模型，水泥与中砂的质量比为1∶6，水灰比为1∶1，其他一系列未详尽的指标，详见作者所在课题组已发表的文献[13-14]。

如图8，初期支护与二次衬砌之间的空隙由减震层充填，减震层采用橡胶海绵材料，达到了“围岩-初期支护-减震层-二次衬砌”体系模拟的目的。

在无任何减震措施下，衬砌模型的震害破坏形态如图9所示。底部剪切波在外激励荷载作用下，隧道拱肩、拱脚裂缝较多。

图8 衬砌的减震体系

图9 无减震层的衬砌震害

在初期支护和二次衬砌之间，设置橡胶海绵，内、外层衬砌模型的破坏形态如图10(初期支护)和图11(二次衬砌)所示。在水平激励加速度作用下，增加减震层后的减震效果相当明显：隧道初期支护(外层衬砌)出现的破坏了较严重；二次衬砌(内层衬砌)只出现少许微细裂缝，基本保持完好。通过模型试验得到的结果，也说明了在初期支护与二次衬砌之间，设置减震层，可以有效地减小二次衬砌的内力响应，使得二次衬砌所受的内力响应量级较小。地震引起的大部分附加内力响应通过减震层转由初期支护承担，初期支护出现了严重震害。

图10 初期支护的震害

图11 二次衬砌的震害

4 结束语

在两端自由边界条件下，研究双层叠合Timoshenko梁的动力响应，以模拟“围岩-初期支护-减震层-二次衬砌”的地震动力响应以及减震效果。通过叠合梁的动力响应控制方程，推导出了叠合梁的动力响应显式解析解，以达到评价减震效果的目的。

在地震力作用下，研究比较了有、无减震层衬砌的动力响应的差别，并且比较了减震层弹性劲度系数变化对复合式衬砌位移响应、内力响应(弯矩、剪力)的影响。从动力位移响应以及内力响应，可以分析出减震层大幅度地减小了二次衬砌的内力响应，减震效果显著。

最后通过振动台实验验证了减震层的减震效果，从实验中可以明显的发现：初期支护在地震过程中，产生了大量的裂缝，但是二次衬砌整体较完好，所以减震层有效地保护了二次衬砌，减震效果明显。