方程实根问题类析

江西

孙春生

(作者单位：江西省吉水中学)

方程实根问题涉及方程实根(函数零点)的个数、各实根之和以及参数的取值范围等，常要依据函数的单调性、周期性及函数图象的对称性等性质，利用函数零点存在性定理，结合数形结合、分类与整合、函数与方程和化归与转化等数学思想来解决.此类题型经常出现在试卷客观题的最后一道题中，有一定的难度，能综合考查学生的抽象概括能力与直观想象核心素养，受到各类考试命题人的青睐.

一、形如f(x)=m的方程实根问题

( )

A.6 B.7

C.8 D.9

【思路分析】本题要先画出f(x)的图象，利用函数图象的对称性得出x3+x4的值，再利用对数的运算性质得x1x2=x1+x2，代入要求的式子，即可解决问题.

即有(x1-1)(x2-1)=1，则x1x2=x1+x2，

【评析】解决此类分段函数的零点问题，需要画出相应分段函数的图象，并通过图象的对称性和函数的性质来解决问题.本题对基本初等函数的图象的画法要求比较高.

二、形如f(x)=g(x)的方程实根问题

【思路分析】本题将函数周期性和奇偶性等性质融为一体，需要利用相关性质画出函数的图象，通过数形结合来解决问题.

解：如图，作出函数f(x)与g(x)的图象，

要使关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根，

【评注】本题考查分段函数的应用，函数的奇偶性与周期性，要求在作图时关注性质及区间的端点值，注意直线与曲线的交点与切点，正确画出函数图象，利用数形结合思想来解决问题.

三、形如f(f(x))=a的方程实根问题

( )

A.(1，3] B.[1，3]

(3)当m<0时，作出f(x)的函数图象，如图所示：

【评注】对于y=f(f(x))-a的零点问题，一般要先设内函数f(x)=t，解出相应的t的值，然后再利用函数y=f(x)与y=t的图象交点来解决问题.

四、形如f(g(x))=a的方程实根问题

【思路分析】本题要设内函数x2-x=t，作出函数y=f(t)的图象，通过中间变量t的转换，利用函数图象的交点来解决.

【评注】此类题常用换元法设内函数，通过中间变量(既是内函数的函数值，又是y=f(t)的自变量)来解决问题.在解题过程中，要注意将方程实根转化为两个函数图象的交点问题.

五、形如f2(x)+af(x)+b=0的方程实根问题

【思路分析】引入中间变量m=|f(x)|，画出函数y=|f(x)|的大致图象，通过观察，要得到12个不同的实根，可得m的范围及m的个数，再通过m2+tm+1=0在指定范围内实根个数求出参数t的范围.

解：由函数的解析式可知f′(x)=x2+2x-3=0，解得x1=-3，x2=1，

由f′(x)>0得x>1或x<-3，即函数在(-∞,-3)，(1,+∞)单调递增,

由f′(x)<0得-3

【评注】此类问题往往根据条件限制，先由m=|f(x)|得出中间变量m的范围，再转化为二次方程f2(x)+af(x)+b=0的根的分布问题.

六、形如的方程实根问题

( )

A.2 B.3

C.4 D.5

解：由xf(x)-1=0得xf(x)=1，

当x=0时，方程xf(x)=1不成立；

当4

作出h(x)的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，即方程实根的个数为3，故选B.

【评注】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键，难点是利用函数递推性质求不同区间的函数表达式.