基于核心素养的高考立体几何试题分析及教学启示

2019-11-19广东

教学考试(高考数学) 2019年6期

广东

潘敬贞骆妃景

(作者单位：广东省汕头市澄海华侨中学广东省东莞市麻涌中学)

2017年新课程标准发布征求意见稿，2018年1月正式颁布《普通高中数学课程标准(2017年版)》.随着新课标的修订与颁布，高考命题也发生了微妙的变化，试题的立意逐渐由能力立意转向了核心素养立意.基于核心素养的高考试题分析，对了解高考命题动向，领会课改精神，把握高考脉搏，提高备考效率等具有重要意义.本文通过对近三年(2017-2019年)高考全国卷文理科共18套试卷中的立体几何试题命题进行分析，提出对今后复习备考有效的建议，希望对新一轮基于核心素养的立体几何高考复习有所裨益.

1 试题内容分析

1.1 考点分析

2017-2019年高考全国卷文理科数学共18套试卷的选择题、填空题和解答题中的立体几何考点分析如下表所示.

试卷题号分值考查问题题型难度2017年全国卷Ⅰ文6,16,1822线面位置关系;多面体外接球的表面积;面面垂直的证明,已知四棱锥的体积求侧面积1道选择题,1道填空题,1道解答题6题易16题难18题中理7,16,1822组合体的三视图,梯形面积;三棱锥的体积最值;面面垂直的证明,二面角1道选择题,1道填空题,1道解答题7题易16题难18题中2017年全国卷Ⅱ文6,15,1822残缺体的三视图、体积;多面体外接球的表面积;线面平行的证明,四棱锥的体积1道选择题,1道填空题,1道解答题6题易15题中18题中理4,10,1922残缺体的三视图、体积;异面直线夹角;线面平行的证明,二面角2道选择题,1道解答题4题易10题中19题中

续表

1.2 试题特点分析

从题型、题量上看：近三年高考全国卷的立体几何题仍保持了高考对立体几何题型的考查形式，包括选择题、填空题及解答题三种.多数试卷以“二小一大”为主，偶尔有“一小一大”，分值在17～27分之间，约占总分值的11%～18%，与新课标要求的课时比例基本吻合.

从知识点分布上看：选填题以考查点、线、面位置关系，求体积和面积为主，部分试题渗透数学文化、实际背景以及在知识交汇处命题，突出试题的思想性和知识点的实际应用价值，聚焦核心素养，考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象等核心素养.另外2019年全国卷6套试卷均未考查三视图，这与新课改中要求删除三视图有一定关系，但2020年高考的命题仍按老课标与老教材进行命题，没有任何信息表明2020年高考不考三视图，因此在备考时一定要注意.立体几何解答题一般位于解答题的第二题左右的位置，题型比较常规，第一小问重点考查线线、线面和面面的位置关系的证明，理科第二小问主要考查空间角，文科第二小问主要考查求锥体的体积和面积等问题，要求学生的基本概念要清晰，并且具备一定的运算能力.

从难度上看：选填题以容易题和中档题为主，也有压轴题，比如2019年卷Ⅰ理科第12题，2018年卷Ⅰ理科第12题，2017年卷Ⅰ理科第16题，解答题基本以中档题为主.

其他方面：文科试题难度整体比理科试题难度要低一些，这与当下文理科生的实际情况相符，但是文理科同题的趋势越加明显.从具体内容上看，选填题基本属于文理同题，解答题文科不考二面角，但文理试题的背景基本相同，这也说明文理科试题在内容上的差异越来越小.从素养考查角度来看，文理科没有明显差异.这说明立体几何试题为高考不分科做了积极的探索.

1.3 考查问题分析

立体几何题一般都是研究确定几何图形的问题，解决立体几何问题关键是要抓住几何图形的本质，即一个图形由几个基本元素确定，要弄清楚确定这些图形有哪几个基本元素，根据已知的基本元素去寻找(作图或求解)其他的基本元素，在此基础上解决与基本问题有关的具体问题(位置关系或数量关系).

经过分析可知，选择题与填空题常考查以下几方面的问题：一是分析几何体中的线面位置关系和求数量关系，主要情形有：已知一个球及其内接或外切的几何图形求其中的数量关系和已知一个多面体中的位置或数量关系求其他的数量关系；二是根据某几何体的三视图猜想其几何特征并求该几何体的某个数量关系，主要情形有：给出几何体的三视图，通过看图、想图或画图得到其直观图，以此确定其几何特征并求其有关数量.而且这类问题主要考查由三视图得到直观图的空间想象能力；其次是根据三视图的条件确定直观图所表示的几何体的几何特征；计算量要求很低，一般是求几何体本身的能反映其几何特征的量，并且只要求代公式直接求值.

解答题常考查证明和求解其他线面位置关系和数量关系，主要情形有：一是通过推理、计算、证明和求解将已知的几何体的部分线面位置关系及数量关系转化为所求的线面位置关系和数量关系，具体呈现为：证明异面直线垂直、线面垂直、面面垂直、线面平行和面面平行，求几何体的体积、表面积和点到面的距离等；二是通过建立空间直角坐标系，利用向量运算求几何体中的空间数量关系.

1.4 试题立意分析

《普通高中数学课程标准(2017年版)》明确提出六大数学核心素养，包括数学运算、数据分析、直观想象、逻辑推理、数学抽象和数学建模.高考命题也随之发生了微妙的变化，试题立意也逐渐从能力立意向核心素养立意转变.试题凸显以基本知识为载体，考查学生核心素养.近三年高考立体几何试题主要以立体几何基本概念、基本知识和基本几何体为载体，通过考查学生想图、画图和用图的过程，考查学生的直观想象与数学抽象核心素养，通过判断或证明点、线、面的几何元素的位置关系，考查学生逻辑推理核心素养，通过求线面的数量关系，考查学生数学运算等核心素养.由于选择题与填空题不给几何图形，考生必须通过想图、画图或用图等一系列过程方可顺利解决有关问题，这样可以更好地考查学生的直观想象与数学抽象等核心素养，由于解答题受到已知图形的限制，因此解答题更侧重于考查学生的逻辑推理、数学运算与数学建模等核心素养.当然，有的试题也有较强的综合性，同一道试题既考查数学抽象和逻辑推理核心素养，又考查数学运算核心素养.

2 高考动向透视

2.1 分析几何体中的位置关系

例1.(2017·全国卷Ⅰ文·6)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是

( )

答案：A.

【评析】本题以学生熟悉的基本的几何体(正方体)为载体，判断线面平行关系，本道试题难度不大，只需掌握正方体的基本概念与性质，由线面平行的判定定理即可快速得出答案，突出试题的基础性.

例2.(2019·全国卷Ⅱ·文7理7)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是

( )

A.α内有无数条直线与β平行

B.α内有两条相交直线与β平行

C.α，β平行于同一条直线

D.α，β垂直于同一平面

答案：B.

【评析】本题结合充要条件考查面面位置关系，由于没有已知图形，也不需要运算，考生全凭立体几何的基本知识通过想象解决问题，主要考查学生运用直观感知、推理论证解决立体几何问题的关键能力，突出考查学生直观想象与数学抽象等核心素养.

例3.(2019·全国卷Ⅲ·文8理8)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则

( )

A.BM=EN，且直线BM，EN是相交直线

B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线

C.BM=EN，且直线BM，EN是异面直线

D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线

答案：B.

【评析】割补法是立体几何中的重要思想方法，如能将该几何体补全成长方体更有利于问题的解决.本题考查学生处理问题的基本能力，考查学生直观想象与数学运算等核心素养.

2.2 分析几何体中的几何关系并求其中的数量关系

2.2.1 已知一个球及其内接或外切的几何图形求其中的数量关系

多面体与球的切接问题是考查球与多面体的交汇点，由于试题没有已知图形，需要考生通过想图和画图，寻求点、线、面的位置关系与数量关系，主要考查学生直观想象、数学抽象、数学建模和数学运算等核心素养.

例4.(2017·全国卷Ⅰ文·16)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________.

答案：36π.

【评析】解决本题的关键是求球的半径，首先要想图、画图，确定球心的位置，再根据几何关系建立三棱锥与外接球的数量关系，最终解出球的半径.主要考查学生直观想象、数学抽象、数学建模和数学运算等核心素养.

( )

答案：B.

【评析】解答本题，首先是想图和画图，再分析体积表达式中不变的量是三棱锥底面的面积，变量只有三棱锥的高，即三棱锥高的最大值是球心到底面的距离加上球的半径，进而将问题转化为求球心到截面的距离，构造直角三角形易得其解.主要考查学生直观想象、数学抽象、数学建模和数学运算等核心素养.

例6.(2019·全国卷Ⅰ理·12)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为

( )

答案：D.

【评析】解决本题，首先要画图，分析并确定球心的位置，再根据几何关系建立三棱锥与外接球的数量关系，最终解出球的半径.主要考查学生直观想象、数学抽象、数学建模和数学运算等核心素养.

2.2.2 已知一个多面体中的位置或数量关系求其他的数量关系

例7.(2017·全国卷Ⅱ理·10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为

( )

答案：C.

【评析】解决本题，首先画图，并把三棱柱补成四棱柱，再找异面直线AB1与BC1所成的角，最后通过运算解决问题.主要考查学生直观想象、数学建模和数学运算等核心素养.

例8.(2018·全国卷Ⅰ文·10)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为

( )

答案：C.

【评析】本题以长方体为载体，考查线面夹角的概念，建立关于线面夹角的数学模型，求出长方体的棱长从而求出长方体的体积.主要考查学生直观想象、数学建模和数学运算等核心素养.

例9.(2017·全国卷Ⅰ理·16)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________.

【评析】本题主要结合导数工具求三棱锥体积的最大值，首先要分析数量关系，建立关于体积的数学模型，再利用导数工具进行解决.本题具有一定的综合性、灵活性和创新性，主要考查学生直观想象、数学抽象、数学建模和数学运算等核心素养.

例10.(2019·全国卷Ⅱ·文16理16)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________.(本题第一空2分，第二空3分.)

图1

图2

【评析】渗透数学文化既可以体现学科育人价值，又可以传承和弘扬中国优秀传统文化，还可以让学生逐渐感受到数学的美学价值和实际应用价值，发展学生的情感态度价值观；更重要的是在整个思考并解决问题的过程中，可考查和发展学生的数学抽象、直观想象和数学建模等核心素养.

2.3 根据某几何体的三视图猜想其几何特征并求该几何体的某个数量关系

例11.(2017·全国卷Ⅰ理·7)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

( )

A.10 B.12

C.14 D.16

答案：B.

例12.(2017·全国卷Ⅱ·文6理4)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为

( )

A.90π B.63π

C.42π D.36π

答案：B.

【评析】给出几何体的三视图，通过看图、想图和画图得到其直观图，以此确定其几何特征并求其有关数量.这类问题主要考查由三视图得到直观图的空间想象能力；其次是根据三视图的条件确定直观图所表示的几何体的几何特征；计算量要求很低，一般是求几何体本身能反映其几何特征的量，并且只需代入公式直接求值.主要考查学生直观想象和数学抽象等核心素养.

2.4 证明和求解其他线面位置关系和数量关系

2.4.1 根据几何体的部分线面位置关系及数量关系，通过转化、推理和计算，证明和求解其他线面位置关系和数量关系

例13.(2017·全国卷Ⅰ文·18)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°.

(Ⅰ)证明：平面PAB⊥平面PAD；

答案：(Ⅰ)证明略.

2.4.2 通过建立空间直角坐标系，利用向量运算求几何体中的空间数量关系

例14.(2017·全国卷Ⅰ理·18)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°.

(Ⅰ)证明：平面PAB⊥平面PAD；

(Ⅱ)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值.

答案：(Ⅰ)证明略.

例15.(2019·全国卷Ⅰ理·18)如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.

(Ⅰ)证明：MN∥平面C1DE；

(Ⅱ)求二面角A-MA1-N的正弦值.

答案：(Ⅰ)证明略.

例16.(2019·全国卷Ⅰ文·19)如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.

(Ⅰ)证明：MN∥平面C1DE；

(Ⅱ)求点C到平面C1DE的距离.

答案：(Ⅰ)证明略.

【评析】例14考查方式与文科区别在于第(Ⅱ)问考查二面角，属于常规题型，例15、例16与前几年相比，第(Ⅰ)问由证明垂直关系改为证明平行关系,体现高考对核心考点命制的覆盖性，突出主干知识.例15、例16几何体的选取为规则图形，以学生较为熟悉的几何体(直四棱柱)为背景，主要考查直线与平面的平行关系，求二面角的正弦值以及求解点到平面的距离，理科试题起点较低，入口宽，有意识地引导学生利用空间向量坐标运算求解二面角，在建立空间直角坐标系时选择面广，不同的学生可能会建立不同的坐标系，给不同学生展开想象的空间，这在一定程度上也体现了高考试题的思想性和方法性.对于文科试题而言，既可以考虑直接找点到平面的垂线段，从而利用平面几何知识直接求解，还可以考虑学生常用的等体积法求解，甚至可以借助空间直角坐标系用坐标运算实现解题，试题的解答具有一定的基础性与灵活性.达到考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，考查逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养的目标.

例17.(2019·全国卷Ⅱ文·17)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.

(Ⅰ)证明：BE⊥平面EB1C1；

(Ⅱ)若AE=A1E，AB=3，求四棱锥E-BB1C1C的体积.

答案：(Ⅰ)证明略.

(Ⅱ)四棱锥E-BB1C1C的体积为18.

例18.(2019·全国卷Ⅱ理·17)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.

(Ⅰ)证明：BE⊥平面EB1C1；

(Ⅱ)若AE=A1E，求二面角B-EC-C1的正弦值.

答案：(Ⅰ)证明略.

【评析】相比例15与例16，例17与例18的几何体明显简单很多，从底面是菱形进一步变为底面是正方形，设问方式从证明线面平行到证明线面垂直，换汤不换药，出发点都是考查学生对点线面位置关系的理解、应用以及语言表达，属于学生较为熟悉的问题；文科试题的第(Ⅱ)问要求计算四棱锥的体积，理科试题要求求解二面角的正弦值，都属于常规问题，题目入口宽有利于学生的解答，注重考查四基与四能，如能用好空间直角坐标系，还可以给试题赋予更优化的解答方法，关键看学生如何选择使用. 建立空间直角坐标系常用的三条途径:(1)利用图形中现成的垂直关系建立坐标系，当图形中有两两垂直且交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系；(2)利用图形中的对称关系建系，图形中虽没有两两垂直且交于一点的三条直线，但有一定的对称关系，可利用对称关系建立空间直角坐标系，这是建立空间直角坐标系解决立体几何有关问题的关键；(3)利用面面垂直的性质建立坐标系，图形中有两个互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性质定理做出两两垂直且交于一点的三条直线，建立空间直角坐标系.

3 教学启示

3.1 重考纲、考题，认准命题方向

高考试题不仅是《考试说明》的具体体现，而且代表着高考考查的方向、深度与广度.这就要求我们熟悉全国卷的出题模式，归纳总结近几年的高考试题，并认真分析高考试题中隐含的命题规律，从而把握考点走向、考点命题形式、考点深度、广度和难度，以及答题技巧等.备考中也应多关注其他地方卷，在对比中找差别、找共性、找联系，排查出高考的重点和热点，这样复习目标更加明确.比如全国卷中客观题经常考查与球有关的结合体的体积和表面积，文科解答题第二问经常考查棱锥的体积、表面积和侧面积.

3.2 重视符号语言的理解与应用

立体几何涉及文字语言、符号语言和图形语言，引导学生对三种语言进行熟练转化.(1)对课本上的定理、公理分别用三种语言表示；(2)对平行、垂直判定方法进行梳理总结，形成系统，分别用三种语言表示；(3)多设计一些命题真假判断问题，一方面加深学生对定理的理解，另一方面培养学生将文字语言和符号语言转化为图形语言的能力；(4)重点复习规则几何体中的线面位置关系.

3.3 强化学生的空间观念，注重学生画图能力的培养

高考中立体几何选填题一般都不给图，而解答题中所给的图又往往需要添加辅助元素，所以从某种意义上说，作出一个好图等于题目解决了一半，因此在复习中注重对学生画图能力的培养，训练中要做到(1)会画——根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面)，作出的图形要直观，虚实要分明；(2)会看——根据题目给出的图形，想象出立体的形状和有关线面的位置关系；(3)会用——对图形进行必要的分解和组合，或对其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或割补等.

3.4 要引导学生养成论据充分，规范解答题解题过程的良好习惯

基础知识、基本技能、基本方法、基础练习要到位，解题步骤要规范，注重通性通法，体现“大众化”.从历年备考立体几何解答题的大体情况来看，学生“会而不对，对而不全”的问题比较严重，很值得引起我们的重视.因此，在平时的训练中，我们应当培养学生规范答题的良好习惯.(1)教师要以身作则，规范板书.坚持每节课的板书至少有一个典型例题，不能只讲思路，也不能用多媒体演示代替板书过程，将规范解答落到实处；(2)把典型问题的解法总结成程序化的步骤.比如用空间向量解决立体几何问题的步骤为：合理建系——正确写出坐标——写出相关向量——经过向量运算——向量结论——几何结论；(3)在批阅作业和试卷时不要只看结果，要关注步骤和过程.提出明确的要求，拿出足够多的时间纠正过程性失误，以督促学生养成论据充分，规范答题的良好习惯.