解析江苏高考第13题，备考2019“平面向量”

余东云

【摘要】本文针对2016年江苏高考数学卷第13题的解析，对高考试卷在平面向量专题的考查内容、涉及题型、解题方法及数学思想方法等进行分析，同时对2019年高考在平面向量专题的备考提出复习建议.

【关键词】高考数学;平面向量;解题分析;考情分析;备考建议

历年的高考试题一直是我们教学研究的主要对象，尤其是高考中的出彩试题，都是经过专家们匠心独运，锐意创新，变换命题的视角和精心演变拓展而成，备受青睐.这些题内容深刻、设计新颖、研究丰富、区分度高，它不但能较好的检测学生对知识的掌握，帮助高校选拔人才，而且更重要的是能够培养学生的能力，开发学生的智力和发展学生的思维.因此，在教学中，高考题是非常有效的素材;研究高考试题，是高效教学和备考的有效途径之一.本文对2016年江苏高考卷第13题进行解析，对2019年高考提出备考建议.

一、高考真题（2016江苏高考卷13题）

如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BC·CA=4，BF·CF=-1，则BE·CE的值是.

二、真题解析

此题作为压轴的填空题，难度较大，学生处理起来比较棘手，对学生的能力要求较高.

本题考查了平面向量的线性运算、平面向量基本定理、数量积等基础知识;考查了抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力等基本能力;考查了方程、转化与化归等基本数学思想.

本题解决的问题是求向量的数量积，常见处理数量积的方法，除了用定义来处理，还有两个思路，一是转化法，即寻找一组向量作为基底，把其他的向量转化到这一组向量上来解决，这组基底通常选择已知向量或者一些特殊向量（特殊位置、长度等）;二是坐标法，即通过建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积，两种实质相同，坐标法更易理解和化简.

三、考情分析

向量是近代数学中重要和基本的概念之一，在新一轮的课改中引入高中数学，在高中数学中具有重要作用和地位，主要体现在它的“工具作用”和教育价值，同时有着极其丰富的实际意义和背景.平面向量具有“数”与“形”双重身份，使其成为高中数学知识的一个重要的交会点，与三角函数、平面几何、空间几何和解析几何都有密切的关系，因此，平面向量成为每年高考的一个必要考查点.

1.从知识上看，对平面向量的考查主要表现为平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积及应用，全国卷在这些方面都有涉及，江苏卷主要侧重数量积的综合应用，2014、2015及2016连续三年考查的都是数量积的综合应用.

2.从题型上来看，主要考查的是小题，只有极少数以向量为载体，考查三角函数和解析几何的问题，纵观2008年到2016年的江苏高考卷，只有2013年考查了解答题，其他年份均以填空题出现.

3.从结构上看，既体现了知识内部的综合应用的考查（即平面向量基本定理、线性运算、数量积的综合应用等），又体现了知识交汇处的考查（即与三角函数、解析几何、不等式等方面的综合考查）.

4.从思想方法上来看，主要考查转化、化归、方程、数形结合等思想.其中，数形结合的数学方法的考查一直是高考的热点.

5.从难度上来看，大多数情况下考查平面向量的题目难度都不大.涉及平面向量的线性运算和坐标运算的题目，一般为比较容易的题;有关数量积、夹角和长度的题，往往要求较高，为中等难度的题;与其他知识的交汇考查或者数量积的综合应用，则常常构成难题.2016年江苏卷的平面向量题是作为压轴的填空题来呈现的，难度很大.

四、备考建议

向量作为一种既有大小又有方向的量，既具有形的特征，可以通过构造向量来处理代数问题，使问题简单化;又具备数的特性，可以将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算.向量又是联系数和形的纽带，数量积是实现向量的数形转换的关键.向量“数”“形”兼备的双重身份，为数形结合思想提供了用武之地.向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，它的引入大大拓宽了解题的思路和方法，在研究其他问题時向量得到了广泛应用，成为“在知识网络交会处设计试题”的良好载体.

1.重视基础，培养能力.在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用.在复习中要重视教材的基础作用，加强基本知识的复习，比如，单位向量、零向量、平行向量、相等向量、相反向量等概念要清楚，对向量中的基底运算和坐标运算要准确，着重理解平面向量基本定理及共线定理.本章不必追求解难题，热点主要体现在平面向量的数量积，坐标运算以及平面向量在三角函数、解析几何等方面的应用.

2.回归教材，立足根本.在高考复习中，教师一定要立足教材，回归教材，强化教材习题的研究，不能简单的就题论题，而应进行适当的变化、引申和挖掘，揭示其有价值的新结论、新解法.这样做不仅能使学生产生触类旁通、举一反三的学习效果，而且能开阔学生的思维，发挥一题多用.同时要注重引导学生对教材习题进行一题多解，一题多变，挖掘出教材习题与高考试题的联系，将教材习题进行组合，变式，引申，演变出高质量的备考题，使学生切实体会到加强教材习题研究在高考复习的重要性，真正做到以“教材为本”，提高备考效果

3.思想渗透，提高思维.平面向量的“数”“形”兼备的双重身份的特殊性，使得本章的题型的处理有很大的多样性，灵活性和综合性，渗透的常见数学思想有转化与化归，方程和数形结合的数学思想.在解决有关问题的过程中，教师就应把最大的教学精力花在诱导学生怎样去想，怎样想到，到哪里去找解题的思路上，要将数学思想方法运用于解题的中心位置，充分发挥数学思想的解题功能──定向功能、联想功能、构造功能和模糊延伸功能.

【参考文献】

[1]李善良.高中数学课程改革探索与实践[M].南京：江苏教育出版社，2012.

[2]孙逵，韩际清.2013年高考“平面向量”专题分析[J].中国数学教育（高中版），2013（7）：32-40.