如何引导工科学生理解单位脉冲函数的概念和意义

摘 要 单位脉冲函数是广义函数， 工科学生理解这一概念存在一定的困难. 针对这一教学难点， 就如何引导学生直观而不失科学性地理解单位脉冲函数的概念和工程意义， 提出了教学思路与方法. 先从工程实际中的脉冲现象入手， 利用矩形脉冲函数引入单位脉冲函数的概念， 再结合傅里叶变换分析其重要的理论意义， 结合系统分析阐明其在工程应用中的重要作用。

关键词 矩形脉冲 单位脉冲函数 傅里叶变换 系统分析

中图分类号：G642文献标识码：A

0引言

單位脉冲函数，也称函数，在近代物理和工程技术中有着广泛的应用，特别是在信号与系统分析中，单位脉冲信号可以用来构造和表示其它信号，系统对一个信号的响应在某种意义上可以用该系统对单位脉冲的响应来表达。因此，单位脉冲函数是工科学生必须掌握的一个重要函数。然而，函数是一个广义函数，它不能用通常意义下“值的对应关系”来定义。在广义函数论中，函数定义为某些“基本函数空间上的线性连续泛函”。对于工科学生来讲，理解这一概念既缺乏必要的数学理论基础，也没有工程应用上的必要性。因此，如何循序渐进地引导学生直观而不失科学性地理解单位脉冲函数的概念和工程意义成为教学的难点，以下谈谈我们在教学实践中总结的教学思路和方法。

1结合工程实际引出函数的概念

首先介绍在物理和工程技术中，经常会对所谓的“脉冲”现象进行研究。例如在电学中，要研究线性电路在某一个瞬间进入一定电量后所产生的电流;在力学中，要研究机械系统在受到冲击力作用后的运动情况等。接着对这种现象进行一个非正式地的总结：脉冲就是一定的能量在极短时间内的释放。在此基础上，可以对这种脉冲现象建立数学模型。

这样引入函数的概念既自然又是对脉冲现象的一个生动逼真的描述，便于学生理解和掌握。但对此概念的描述不能仅限于此，接下来有两个问题必须阐明。

第一，并不是一个传统意义上的函数。因为在时，它没有一个确定的值与之对应，而这是传统意义上函数的基本要求，所以函数实际上是一个广义函数。

第二，函数的图形。普通函数可以用直角坐标系中图形来直观展示，函数作为一个广义函数又如何用图形来表示呢？对于（2）式定义的函数，通过交换求积分与求极限的次序，可得。

因此，工程上常将函数用一个长度为1的向量来表示，如图2（b）所示。这个向量的长度表示函数的积分值，也称为函数的强度。

至此，学生对函数在概念层面上就会有一个直观而又深刻的认识。接下来从两个侧面揭示引入函数的重要意义。

2从傅里叶变换的角度分析函数理论意义

傅里叶变换在自然科学和各种工程技术领域均有广泛的应用，然而经典意义下的傅里叶变换要求函数在上绝对可积，许多常用函数如常函数、三角函数均不满足这一条件，因此经典意义下的傅里叶变换不存在，这大大影响了傅里叶变换的适用范围。函数的引入可以很好的解决这一问题。利用函数解决这一问题的理论基础是函数具有以下重要性质：

4结论

通过对单位脉冲函数从概念层面、理论意义、应用价值三个层面，“三位一体”的分析介绍，可以使学生对单位脉冲即有直观的感性认识，又有深刻的理性认识，更重要的是可以帮助学生在工程应用中做到驾轻就熟，举重若轻。

参考文献

[1] 张元林.积分变换（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2] 胡政发.复变函数与积分变换[M].上海：同济大学出版社，1015.

[3] Peter V. ONeil.Advanced Engineering Mathematics [M].（Seventh Edition）. Stanford： Cengage Learning，2010.

[4] Alan，V.&S.Oppenheim，Alans&S.Willsky&Hamid Nawab.信号与系统（第二版）[M].留树棠译.西安：西安交通大学出版社，1998.