不愤不启，不悱不发——例谈初中数学课堂教学中的启发式提问

江苏省南通市第一初级中学 江继娟

“学源于思，思始于问”，提问是教学的重要形式之一，贯穿于整个教学环节，提问的内容及方式决定了问题的价值.在初中新型课堂中，启发式教学是多年来一直被提倡的教学方式之一.对于初中数学而言，笔者认为“启发”的价值更多地体现在提问中，下面结合“反比例函数的图像及性质（1）”（人教版九年级下册）的教学片段，就启发式提问在教学各个环节中的实施谈谈自己的看法.

一、引入新知：启发内容、激发兴趣

新授课通常由引入开启，通过引入可以让学生对本节课的内容有初步的了解，吸引学生的注意，激发学生的探究欲望.问题式导入是数学常态课常用的方法，通过问题启发学生了解教学内容、激发学习兴趣.

导入语：矩形是我们熟悉的图形，矩形的面积计算公式是我们早已熟悉的基本公式.如果我们保证它的面积为16不变，那么它的长和宽有着怎样的关系呢？

生1：长和宽两个长度，一个会随着另一个的增大而减小.

师：非常好，如果我们将长和宽分别用x、y表示，那么能不能用式子表示这两者之间的关系呢？

师：完全正确，并且你还联想到了式子的变形，现在请大家观察y=，这是一个什么形式呢？

生：（齐）反比例函数.

师：没错，就是我们昨天学的反比例函数，那么该函数的自变量取值范围是什么呢？y随x的变化而变化的规律是什么？这个函数还可以有怎样更直观的展现形式呢？带着这个问题，我们开始今天的学习.

实施意图：“带着问题学习”符合人的一般认知规律，以简单的问题引入教学，吸引学生的注意，可以增强学生学好本节课内容的信心.在此基础上设置问题串引导学生积极思考，以此激发学生的兴趣.

二、探究新知：启发思路、引领方向

探究式学习是新型课堂的教学模式，变传统的接受式学习为主动学习，学生是课堂的主角.诚然，教师在教学中的作用依旧不可否认，在探究新知的环节中，教师是一个引导者，通过引导启发学生的思路，为学生指明思考问题的方向.

师：研究函数就是研究应变量y与自变量x之间的变化规律，那么你在研究这个问题时遇到的困难是什么呢？

生1：我首先遇到的困难是k的正负性，因为比例系数不能为0，那究竟是取正还是取负呢？

师：你的这个问题很好，那如果我们赋予k一个定值，你用什么方法研究呢？

生1：用列表描点法画图像.

师：没错，研究函数就要从它的图像开始.既然k≠0，那如何取值更具代表性呢？

生2：正数和负数各取几个.

教师根据学生的回答给出探究任务：

任务1：作出以下函数的图像并观察规律，和同伴交流.

完成方式：分组完成，组长汇报成果.

展示片段：

表1

通过图像可以看出这个反比例函数的图像位于第一、三象限；它和坐标轴没有交点；当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而减小.

图1

图2

师：你们两个小组的结论是一样的，那我们是否可以猜想一下：当k满足什么条件时有这样的规律呢？

生：当k＞0时有这样的规律.

教师根据学生的回答板书.

表2

通过图像可以看出这个反比例函数的图像位于第二、四象限；它和坐标轴没有交点；当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而增大.

师：你们两个小组的结论是一样的，那我们是否可以猜想一下：当k满足什么条件时有这样的规律呢？

生：当k＜0时有同样的结论.

教师根据学生的回答板书.

师：以这几个函数的图像为参照，我们可以看出反比例函数的性质和什么有关呢？

生1：与k的正负性有关.

教师用几何画板演示当k＞0与k＜0时反比例函数图像的变化规律，并与学生共同归纳、板书反比例函数的性质：

表3

师：除了上述性质，大家在刚才画图探究的过程中还有什么发现呢？

生1：我发现反比例函数的图像和一次函数的图像有两个区别，一是一次函数的图像是直线，而反比例函数的图像是曲线，二是一次函数的图像是连续的，而反比例函数的图像不连续.

生2：我发现当k＞0时，k越大，图像越远离坐标轴，越小，则越靠近；当k＜0时，k越大，图像越接近坐标轴，越小，则越远离.

…………

师：以上几个同学有着发现的眼光，这是学好数学及其他学科的重要能力，希望大家也像他们一样学会动脑、学会发现.同时他们发现的这些规律都是我们后面进一步研究反比例函数及解决与之相关的问题所必需的.

实施意图：在探究新知的环节中，学生是主体，教师的任务是解决学生在探究过程中的困惑，因此首先让学生质疑，根据学生的疑惑引导启发，整个过程是自然生成而非预设的，更加符合学生的认知规律.在这个过程中，教师的提问是对解决问题的思路和思考问题方向的引导.

三、运用新知：启发方法、训练思维

运用新知是学以致用的过程，也是知识内化的过程，在这个过程中，教师的关注点应是对方法的引导和思维的训练.启发式的提问可以给学生正确的引导与点拨.

任务2：完成下列问题.

题1：已知反比例函数y=的图像在第二、四象限，求m的值，并指出在每个象限内y随x的变化情况.

题2：若函数y=（2m-1）x与y=的图像交于第一、三象限，则m的取值范围是______.

题3：如图3，点A在函数y=的图像上，已知点A的横坐标为2.

图3

（1）求点A的纵坐标.

（2）若点B（-6，y1）和C（-3，y2）在该反比例函数的图像上，试比较y1、y2的大小.

完成方式：学生独立完成后小组交流、互查纠错.

根据学生的完成及反馈情况得知，题1、题2及题3（1）错误较少，部分有错误的学生可以通过组内互助解决问题，题3（2）部分学生无法在小组互助中得到解决，因此需要教师的引导.

师：比较y1、y2的大小就是比较点B与C的纵坐标，那么已经解决的同学用了什么方法呢？

生1：我用了和解（1）一样的方法，将点B与C的横坐标代入解析式，求出y1、y2直接进行比较.

师：完全正确，你用的是代数法，那么函数问题中还有一种常用的思想是数形结合，我们是否还有其他方法呢？

生2：我觉得不需要画图，可以看出这两个点都在第二象限，根据性质可知，y随x的增大而增大，由-3＞-6可知y2＞y1.

师：你利用了反比例函数的性质给这个问题提供了一种新解法，你真棒！

师：（追问）如果将两个点变成B（-6，y1）和C（3，y2）呢？

生2：这个也简单，点B在第二象限，所以y1＞0，点C在第四象限，所以y2＜0，因此y1＞y2.

师：非常好，看来你对反比例函数的性质已经掌握得非常熟练了.那么，你觉得用这个方法进行判断有什么注意点吗？

生2：需要注意点所在的象限.

生3：我觉得还是画图像比较方便，把这两个点画出来直接看就可以了，免去了考虑点在哪一象限的过程.

学生板演画图解题的过程.

师：通过同学们的努力，给这个问题提供了三种解决方法，每种方法都有其优势与弊端.一题多解、数形结合就是数学的魅力所在，同学们真了不起.

实施意图：这个环节中的启发是让学生动脑、让学生发声，因此即便是有难度的问题，教师也是先从简单问题开始引导学生动脑筋，鼓励学生大胆说出自己的想法，以此来提高学生的参与热情、训练学生的思维发散能力.在实施过程中会发现，有些孩子的想法看似与课堂的“音符”不和谐，偏离了教学轨道，但这也是学生最真实的声音，教师应该俯身聆听、耐心解答，注重启发，将他们引入正确的思维轨道.

四、总结新知：启发总结、培养习惯

总结新知是将所学知识纳入已有知识体系的过程，也是自查补缺的过程，这个环节中，教师的启发就是对学生良好习惯的引导，培养学生形成反思总结的习惯.

师：通过今天的学习，你的收获是什么呢？

生1：我学会了双曲线的画法、知道了双曲线的增减性与k的值有关.还通过图像了解到反比例函数与坐标轴没有交点.

师：很好，这是知识上的收获，那么方法上是否也有所获呢？

生2：我学会了比较反比例函数的图像上点的横、纵坐标的三种方法.

师：本节课你是否领会了某种数学思想呢？

生3：数形结合思想.

师：非常准确，那么你在这节课的学习中有没有什么意外的收获呢？

生2：我在刚刚求反比例函数图像上点的坐标时发现，确定反比例函数的解析式只需要知道一个点就可以了.

师：对于本节课的内容，你还有什么疑惑与不解吗？

…………

实施意图：在常态课中，总结环节常常被师生所忽略或者匆忙了事，教师对此的轻视也导致了学生的不重视，认为总结只是一种形式.显然，这个环节是课堂不可或缺的部分，教师的充分启发才能引导学生多方面进行总结、反思，以养成良好的习惯.

“不愤不启、不悱不发”，一方面肯定了启发的重要性，另一方面，强调了启发的程度.提问是初中数学教学中的重要启发途径，什么时候提问？怎样提问？这些都是教师在教学中需要斟酌的.“教学有法而无定法”，在教学中只有不断尝试、不断反思、不断改进，才能让问题更具有启发性，真正提高问题的价值.