基于Timoshenko模型的桩基多维动力阻抗分析

熊辉，吴超然

基于Timoshenko模型的桩基多维动力阻抗分析

熊辉，吴超然

(湖南大学 土木工程学院，湖南 长沙 410082)

基于桩土相互作用的动力文克尔地基梁模型，桩基被等效为Timoshenko梁并建立运动方程。考虑桩身轴向压力的二阶效应及土层天然分层特性，提出计算层状土中单桩及群桩在水平振动阻抗的改进方法。通过数值计算，比较不同条件下Euler-Bernoulli模型与Timoshenko模型单桩及群桩桩顶振动特性。研究结果表明：采用Timoshenko模型计算所得到的单桩水平阻抗以及群桩相互作用因子均出现正值减小，负值增大的情况；且随着桩身长径比的变小，剪切刚度对该情况的影响也逐渐增大。同时桩顶轴向压力以及被动桩的空间相对位置对群桩相互作用因子的求取存在一定影响。

Timoshenko模型；传递矩阵法；动力相互作用因子；轴向荷载

桩基础作为埋入土层的柱形构件，因其具有良好的受力性能及抗震表现且能适应各种土质条件而在基础工程领域得到广泛应用。故而，研究地震作用下的桩−土动力响应仍是工程领域比较具有研究意义的课题。实际工程中，桩基往往以群桩的形式出现，求解群桩动力阻抗时需考虑邻桩的动力相互作用。为求解动力相互作用因子通常采用Winkle模型、连续介质模型以及有限元法和边界元法的数值分析模型。陈海兵等[1]采用简化边界元模型评估动力作用下群桩的水平动力响应，刘林超等[2]利用连续介质模型得到了饱和土层的水平动力阻抗，蔡可键[3]将有限单元法用于分析桥梁基桩的动力响应。但数值分析模型计算复杂、连续介质模型在均匀土层中对水平动力阻抗的求取有所欠缺。故Gazetas等[4−6]采用Winkle地基梁模型，推导出单桩及群桩动力阻抗的简化计算方法并将其应用在弹性模量随深度线性变化的土层中。在此基础上，国内学者进行了更深入的研究：考虑土体的天然分层[7]、考虑轴力的参与[8−9]等因素并与过往文献进行对比分析，得到许多成果。上述研究均基于Euler-Bernoulli模型，只能适用于小直径桩。姚戈等[10]将Timoshenko梁引入连续介质模型，研究线性黏弹性土层中Timoshenko模型端承桩水平振动的动力特性。高广进等[11]引入桩身剪切变形及转动惯量并建立方程，得到群桩阻抗的改进计算方法。余涛等[12]采用Biot动力固结理论对Timoshenko梁模型桩基计算，得到单桩顶动力复阻抗解析解。同时Timoshenko模型不仅仅用于实心桩，栾鲁宝等[13]运用考虑剪切变形的PCC桩，推导出PCC桩的动力复阻抗变化规律。本文结合现有的研究成果，采用基于桩土相互作用的动力文克尔模型，桩基被等效为Timoshenko梁，考虑桩身轴向压力的二阶效应，采用传递矩阵法详细推导出多维荷载(水平荷载、轴向荷载及弯矩)作用下的群桩动力相互作用因子。

1 桩基水平振动阻抗求解

1.1 单桩水平动力阻抗求解

桩基简化为Timoshenko梁并将桩侧土体简化为与桩相连的弹簧和阻尼器，同时考虑到土层的分层特性与竖向荷载的二阶效应，计算模型如图1所示。在简谐力作用下，第层土中单桩水平振动平衡微分方程为：

图1 单桩水平振动模型

假设在水平谐荷载作用下，桩的激励位移为：

将式(2)化简为关于水平位移的函数并代入式(1)，可得：

式(3)的解为：

其中：式(5)中11i，11i，11i和11i均为待定系数，h为第层土厚度，其余参数如下所示：

同时对于桩身剪力及弯矩与其位移转角的关系式如下：

将式(5)代入式(4)，(7)和(8)可得第层土体桩身单元的水平位移u()，桩身转角()，剪力Q()和弯矩M()同11i，11i，11i和11i的关系：

式(9)中符号表达式如下：

将第层土层厚度h代入式(9)，消去11i，11i，11i和11i可得该被动桩身单元顶端和底端的应力和应变关系：

将桩身根据土层性质自上而下分割为个单元，根据界面不分离的原则，第单元与第-1单元分层面处的位移、剪力、转角、弯矩必须相等，采用传递矩阵法可知桩身顶部11(0)，11(0)，11(0)和11(0)与桩身底处对应关系式如下：

其中：

式中：为桩身长度。对于端承桩，底端嵌固，()=0，()=0代入上式可得桩顶阻抗函数：

1.2 群桩水平动力相互作用因子

通过单桩水平动力阻抗及相互作用因子便可求得群桩水平动力阻抗。Dobry & Gazetas提出二维应变模型并给出因主动桩振动所产生的位移场方程。其相互作用模型如图2所示，图中u为土体 位移。

图2 邻桩动力相互作用模型

式中：11为主动桩所产生的水平位移；为主动桩与被动桩的距离；为主动桩荷载方向与主动桩和被动桩连线的夹角。

则式(19)的解为：

式中：

其中各参数表达式如下：

将第层土层厚度h代入式(24)，消去21i，21i，21i，21i，11i，11i，11i和11i，可得该被动桩单元顶端和底端的应力和应变关系：

其中：

根据界面不分离的原则，采用传递矩阵法可知桩身顶部11(0)，11(0)，11(0)和11(0)与桩身底部对应关系式如下：

根据桩间水平相互作用因子的定义，可得：

2 算例分析

2.1 单桩水平动力阻抗验证与分析

参考上述公式推导，用于计算如下实例：单桩长径比(为桩身长度)分别为6和10，弹性模量为38 GPa，剪切模量21 GPa，质量密度为 2.35×103kg/m3，该桩为端承桩，桩底嵌固于底部基岩上，计算土层分为5层，桩身范围内的土层为4层，桩底 1 层，每层厚度均为/4。其各土层材料参数如表 1所示。

表1 土层属性参数

(a) 实部刚度；(b) 虚部阻尼

计算过程中桩顶轴力不变，单桩水平动力阻抗对比图如图3所示。本文EB模型(Euler-Bernoulli)由文中TB模型(Timoshenko)不考虑剪切刚度简化而来，其计算结果同文献[14]对比趋势较为一致且数值相差不大，说明本文所采取的计算模型是可取。通过EB模型与TB模型对比可以看出：对于实部刚度与虚部阻尼，TB模型较EB模型的计算结果偏小由此可见剪切刚度对水平阻抗存在一定削弱作用，随着桩身长径比的变小，剪切刚度对该情况的影响也逐渐明显。

2.2 群桩动力相互作用因子计算与分析

2.2.1 2桩算例

2桩算例沿用单桩分析的算例，平面示意图参照图4，具体土属性参数如表 1 所示，桩身长径比/分别为6和10，弹性模量为38 GPa，质量密度为 2.35×103kg/m3，2桩间距为5.0 m，于2桩连线平行方向上在源桩作用一简谐力。

图5中为2桩水平动力相互作用因子。比较土中计算结果可以得到以下规律：在惯性作用下主动桩与被动桩的实虚部动力相互作用因子的都表现出了较为一致的频率相关性，通过与文献[14]方法结果对比，可知本文的计算结果与文献具有较为一致趋势，是较为可信的计算结果。且随着桩身长径比的变小，剪切刚度对该情况的影响也逐渐增大，但没有单桩那么明显。同时本文将TB模型1(考虑轴力)与TB模型3(不考虑轴力)进行对比发现：轴向力的作用增大了主动桩对被动桩的影响，实部与虚部均表现为正值减小，负值增大的一致性。

图4 2桩平面示意图

(a) 实部；(b) 虚部

2.2.2 群桩算例

由于主动桩沿各方向传递的剪切波速是不一致的，故需考虑被动桩的空间相对位置对结果求取的影响[6]。群桩算例采用4桩为例，其以源桩为圆心，桩间距为5 m，分别以与谐振力方向夹角为0°，45°和90°排列，平面示意图参照图6。桩身长径比/均为10，弹性模量为38 GPa，质量密度为2.35×103kg/m3，其余参数参照单桩算例参数。

图6 群桩平面示意图

图7给出的是以1桩为主动桩时在水平振动作用下群桩的动力相互作用因子图，其中1-y是桩号的作用标识，意为主动桩1号对被动桩y号的水平作用分析曲线，通过比较可发现，谐振力作用下的动力相互作用因子出现较为一致的频率相关性，随着角度的增大，实部与虚部的相互作用因子变化周期也明显变小。

(a) 实部；(b) 虚部

3 结论

1) 基于桩土相互作用的动力文克尔模型。采用与频率相关的弹性元件和黏性元件来模拟地基刚度，桩基被等效为Timoshenko梁，考虑土层天然分层特性及桩身轴向压力的二阶效应，分析表明该模型在大直径桩的分析中对桩−土水平动力相互作用作出更加精确的数值分析。

2) 在单桩水平阻抗以及群桩的相互作用因子求解分析中，若采用Euler-Bernoulli模型，所得到的结果相较于本文理论要偏大。且随着桩身长径比的变小，剪切刚度对该情况的影响也逐渐明显。此时，需要引入考虑剪切变形的Timoshenko梁模型进行计算，才能达到理想的效果。

3) 桩顶轴向压力以及被动桩的摆放位置对群桩的相互作用因子存在影响，通过2桩及4桩算例可知：实部与虚部的相互影响因子的随着轴向力的参与均表现为正值增大，负值减小的趋势；而随着被动桩与主动桩的连线同谐振力方向夹角的增大使得相互影响因子的波动周期明显加快。

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Multi-dimensional dynamic impedance analysis of pile foundation based on Timoshenko model

XIONG Hui, WU Chaoran

(School of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)

Based on the hypothesis of dynamic Winkler model between pile and soil, a vibration equation was established by making the pile equivalent to a Timoshenko beam. An improved method was deduced to compute the lateral dynamic impedance of piles, which took second-order effect of axial pressure and soillayer natural stratification characteristics into account. Through numerical calculation, the vibration characteristics of single pile and pile group under different conditions were compared between Euler-Bernoulli model and Timoshenko model. The results show that the horizontal impedance of single pile and the interaction factor calculated by Timoshenko model both decrease positively and increase negatively. With the decrease of the length-diameter ratio of the pile, the influence of shear stiffness on the situation increases gradually. At the same time, the axial load and the relative position of passive piles have some influence on the calculation of pile group interaction factors.

Timoshenko model; transfer matrix method; dynamic interaction factor; axial load

TU473

A

1672 − 7029(2019)10− 2434 − 08

10.19713/j.cnki.43−1423/u.2019.10.008

2018−12−26

教育部新世纪优秀人才支持计划项目(NCET-13-190)

熊辉(1975−)，男，湖南桃源人，副教授，博士，从事结构抗震及土−结构相互作用的研究工作；E−mail：xionghui5320@163.com

(编辑 涂鹏)