扇形内接矩形的观察视角

王银国

[摘   要]研究扇形内接矩形问题的解决方法，有利于开阔学生视野，提高学生解题能力.

[关键词]扇形;内接矩形;视角

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）26-0021-01

人教版数学教材A版必修4第141页的例4是三角函数的一道综合应用问题.它的处理较好地涵盖了三角函数、解斜三角形和函数应用的主要内容，很好地展示了数学应用问题的基本处理方法，是一道经典的三角函数应用题.

【问题】如图1所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为[π3]的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形内接矩形.记[∠COP=α]，求当角[α]取何值时，矩形ABCD的面积S最大？并求出这个最大面积.

一、一般三角形视角

分析：找出面积S与角[α]的函数关系，再通过求函数S的最大值就可以找到矩形面积的最大值.

方法1：在直角△OBC中 ， [OC=1]， [∠COP=α] ，

所以[BC=sinα]，在△ODC中，  ∠DOC=[π3-α] ，∠ODC=120° ， 其中[0<α<π3] .

由正弦定理得[DCsinπ3-α=OCsin120°] ，所以[DC=sinπ3-αsin120°=2332cosα-12sinα]，

矩形ABCD的面积[S（α）=BC×DC=]

[2332cosα-12sinαsinα][=2332cosαsinα-12sin2α=][2334sin2α-14（1-cos2α）][ =]

[1332sin2α+12cos2α-14][=]

[13sin2α+π6-][143].

由[0<α<π3]得 [π6<2α+π6<5π6]，所以當[2α+π6=π2]，即[α=π6]时 S有最大值[36].

二、直角三角形视角

方法2：如图1所示，在直角△OBC中，[OB=]

[cosα]，[BC=sinα].在直角△OAD中，[OA=sinα3]，[AB=cosα-sinα3]，矩形ABCD的面积[S（α）=AB×BC=cosα-13sinαsinα].以下处理过程同上.

三、坐标视角

方法3：以OP所在直线为x轴，过O垂直于OP的直线为y轴建立直角坐标系.设[BC=a]，DC所在直线方程为y=[a]，它与圆[x2+y2=1]交点的坐标为（[1-a2]，[a]），OQ所在直线方程为y=[3]x与x=[a]交点坐标为[a3 ， a].

解析几何方法表达矩形边长同样可以求得.[BC=a]， [DC=1-a2-a3].以下处理过程同上.

方法4：设点C的坐标为（cos[α] ，sin[α]），[BC=sinα]， [OB=cosα]，[OA=sinα3]，[AB=cosα-sinα3]，矩形ABCD的面积[S（α）=AB×BC=cosα-13sinαsinα].以下处理过程同上.

上述三种视角处理过程相似，但使用的工具完全不同，它把函数、三角函数、解析几何三个内容进行了整合，涉及数学学科的主要内容，很好地构建了数学学科的一张知识与思想方法的网络，体现了处理问题的学科价值.应用问题可以为知识的应用提供似曾相识而又陌生的背景，在陌生的背景下才能让知识灵活应用.因此知识的应用才是学习的终极目的.

（责任编辑 黄桂坚）