一道考题的解法探讨

程雷虎

[摘   要]从不同视角探讨一道高中数学试题的解法，以开阔学生视野，提高学生的解题能力.

[关键词]考题;解法;高中数学

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）26-0003-02

有的高中数学试题简洁、灵动，且背景熟悉、设问通俗、解法多样.这些考题既考查学生的基础知识和基本能力，又给后续的高中教学指明了方向，起到了良好的导向作用，有较大的研究空间和教学价值，值得我们去探究.下面笔者以一道考题为例，从不同视角探讨多种思路和解法.

一、试题呈现

题目： 如图1所示，菱形[ABCD]的边长为[2，][∠D=60°，]点[H]为[DC]中点，现以线段[AH]为折痕将菱形折起，使得点[D]到达点[P]的位置且平面[PHA⊥平面ABCH，]點[E，F]分别为[AB，AP]的中点.

（2）求平面[PAH]与平面[PBC]所成锐二面角的余弦值.

二、解法探讨

在[△ADH]中，运用余弦定理求得

[AH=AD2+DH2-2AD?DHcos60°=3，]符合勾股数[AH2+DH2=AD2，]有[AH⊥DH，PH⊥AH，]又平面[PHA⊥平面ABCH，]所以[PH⊥平面ABCD.]根据折叠原理和边角关系，很容易求得[PA=2，PH=1，BH=7，PB=22，PC=2].

其实，此题还有如下多种解法.

解法1：垂面向量法

垂面向量法是教材介绍、大家熟知的一种方法，也是容易上手的一种方法.

该方法需要适当建立空间直角坐标系，通过方程组，求出平面[PBC]的法向量[n1]和平面[PAH]的法向量[n2]，即可求解.

如图2，建立空间直角坐标系，易得

P（0，0，1），B（[3]，2，0），C（0，1，0），所以[PB=（3 ， 2 ，-1）]，[PC=（0，1，-1）]，设平面[PBC]的法向量为[n1=（x，y，z）]，

由[PB?n1=0，PC?n1=0]得[3x+2y-z=0 ，y-z=0 ，]

得[y=z ，z=-3x .]

取[n1=（1，-3，-3）]，由题意易知平面[PAH]的法向量为[n2=（0，1，0）.]

设平面[PAH]与平面[PBC]所成锐二面角的平面角为[θ，]故

[cosθ=cos=n1?n2n1?n2=37=217.]

解法2：射影面积法

在大小为锐角[θ]的二面角[α-l-β]中，若[α]内面积为[S]的多边形在[β]内的射影面积为[S′，]则[cosθ=S′S].

因为[CH⊥平面PAH，BA⊥平面PAH，]所以[△PBC]在平面[PAH]内的射影就是[△PAH.]在[△PBC]中，[cos∠BCP=BC2+PC2-PB22×BC×PC=-122，]所以

[S△PBC=12×2×2×sin∠BCP=72，]

又因为[S△PAH=12×1×3=32，]

易得[cosθ=S△PAHS△PBC=3272=217.]

解法3：定义法

用定义法求二面角的大小，首先要过二面角的棱上某点分别在两个半平面内作出或找到垂直于棱的线段而构成二面角的平面角.本题中的平面[PAH]与平面[PBC]的公共棱在图形中没有体现出来，这就需要将两个平面对外延伸，找出公共棱.

如图3所示，在原图形中，根据平面的性质，将[AH]，[BC]延长相交于点[M]，连接[PM]，则[PM]为平面[PAH]与平面[PBC]的公共棱.在[△PHM]中，作[HN⊥PM，]垂足为[N，]连接[CN].

在[△PHM]中，易知[HM=AH=3]，[PM=2]，所以[HN=PH?HMPM=32]，[PN=12.]

在[△PCM]中，[cos∠CPM=PM2+PC2-CM22×PM×PC=PN2+PC2-CN22×PN×PC]，代入数据求得[CN=72]，所以在[△PCN]中，有[PN2+CN2=PC2，]故[CN⊥PM，]所以[∠HNC]为平面[PAH]与平面[PBC]所成二面角的平面角，故由余弦定理知

[cosθ=HN2+CN2-HC22×HN×CN=322+722-122×32×72=217.]

解法4：垂棱向量法

方法介绍：在两个平面内分别作公共棱的垂线（垂足可以不同），由向量性质及二面角的定义知，两垂线所在向量的夹角即为二面角的大小（两向量的起点均为各自的垂足）.

如图4，建立空间直角坐标系，

[H（0，0，0）]，[P（0，0，1）]，[M（-3，0，0）]， [B（3，2，0）] .

[PM]上任意一点的坐标设为[N（x，y，z）]，不妨设[PN=λPM]，故有[x=-3λ，]

[y=0，z=1-λ]，所以[N（-3λ，0，1-λ）.]

在平面[PAH]内，作[HN1⊥PM，]由[HN1?PM=0，]得[N1H=34，0，-34.]

同理，在平面[PBC]内，作[BN2⊥PM.]由[BN2?PM=0，]得[N2B=32，2，-32.]

故[θ==<4N1H，2N2B>，]所以[cosθ=（4N1H）?（2N2B）4N1H?2N2B=217.]

解法5：等体积法

由解法3，如图3，[HN⊥PM，]则点[H]到平面[PCM]的距离为[HN?sinθ.]

由于[PH⊥平面HMC，]

所以[VP-HMC=13×1×12×1×3=36.]

又因为[S△PMC=12×142×2=72]且[VH-PMC=VP-HMC]，

所以[13×72×HN?sinθ=36，]求得[sinθ=27，]进而有[cosθ=217.]

解法6：公式法

普通高中课程标准实验教科书人教版数学教材选修2-1第三章第二节的例2指出：如图5所示，[α?β=l]，[AC?α ，BD?β]，且[AC⊥l]，[BD⊥β]，则二面角[α-l-β]的余弦值为[AC2+BD2+CD2-AB22AC?BD.]

由解法3，如图6，[HN⊥PM，] [BK⊥PM，]计算得[HN=32]，[BK=7]，[NK=32]，由公式得[cosθ=HN2+NK2+BK2-BH22HN?BK][=217.]

三、教学建议

1.立足教材素材

本题的素材来源于普通高中课程标准实验教科书人教版数学教材选修2-1的总复习题B组第（3）题，与高考命题“源于教材，高于教材”的指导思想一致.问题简洁易懂，表述通俗，意图清晰，难易适中，学生通过所学知识容易解决.试题立足教材，以教材中的习题为题源，给学生以亲切感，同时对教师的教和学生的学起到很好的导向作用.

2.突出通性通法

本题的解法可谓灵活多样，可以从空间向量的法向量入手，也可以从空间向量的线向量入手，还可以从几何图形的定义入手，或者从教材例题的结论入手，还可以从体积的角度入手.从不同的视角可以得到解决问题的不同思路.但不同的思路，运算的繁简程度也不尽相同.在立体几何的二面角问题解决中，要抓住空间图形结构，突出通性通法的考查.在解题教学中，要把通性通法的训练当作重头戏，要让学生独立思考、尝试解答，在问题求解中掌握通性通法.

3.提高数学素养

本题的解题思想，大多数学生都会直接用熟悉的、最直接的向量法，而不是垂面向量法.垂面向量法有时会使得计算量很大，學生陷于繁杂的运算中不能自拔，运算容易发生错误，导致功亏一篑.另外，垂面向量法的思想是通过两个平面的法向量来求解二面角的大小，这需要学生能够精准地判断所求得的法向量是“穿进”还是“穿出”，这是学生学习中的一个难点，也是容易出错的一个地方.基于此，如何引导学生理解多种解题思路，使学生养成探究、应用的习惯，提高学生的数学核心素养，应引起教师的高度重视.

（责任编辑 黄桂坚）