三角形与其内接三角形面积比的几个问题

[摘   要]在处理三角形与其内接三角形面积比问题时，可建立几何模型，使任意一个三角形的内接三角形与正方体内的点建立一一对应关系.研究三角形与其内接三角形面积比的有关问题，有利于学生理解知识，提高学生解题能力.

[关键词]内接三角形;面积比;几何模型

[中图分类号]    G633.7        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）26-0006-03

一、问题的提出

如果△C1C2C3是△B1B2B3的内接三角形，那么在一定条件下成立不等式

[S△C1C2C3][≤14S△B1B2B3]（简记[S′∕S≤14]）（1）

围绕这个不等式，不少学者做过认真的探讨，也提出了一些有价值的见解，笔者深受启发，进而思考：许多文章给出的是使（1）成立的充分条件，究竟其必要条件是什么？若C1、C2、C3是三角形各边上随机选定的点，那么使（1）成立的概率有多大？针对这两个问题，笔者略谈几点认识，借此抛砖引玉，有盼读者不吝赐教.

二、引理

【引理】设C1、C2、C3分别在△B1B2B3的B2B3、B3B1、B1B2边上，并且[B3C2B3B1] =λ1、[B1C3B1B2] =λ2、[B2C1B2B3] =λ3，连接C1C2、C2C3、C3C1，则

[S△C1C2C3S△B1B2B3]=λ1λ2λ3+（1-λ1）（1-λ2）（1-λ3）.

证明：如图1，连接B1C1，记

S1=[S△C1B3C2]，

S2=[S△C1C2B1]，

S3=[S△B2C1C3]，

于是有[S△C1C2C3]=[S△B1B2B3]-（[S1]+[S2]+[S3]）（*）

由[B3C2B3B1]=λ1，得[S1S△C1B3B1]=λ1，

又[B2C1B2B3]=λ3，即[C1B3B2B3]=1-λ3，

亦即[S△C1B3B1S△B1B2B3 ]=1-λ3.

故S1=λ1（1-λ3）[S△B1B2B3].

同理S2=λ2（1-λ1）[S△B1B2B3].

S3=λ3（1-λ2）[S△B1B2B3].

将S1、S2、S3代入式（*），即得到引理之结论.

三、判定定理及其应用

根据引理不难推得下面的判定定理.

【定理】C1、C2、C3分别在[△B1B2B3]的B2B3、B3B1、B1B2边上，记[B3C2B3B1=λ1]、[B1C3B1B2=λ2]、[B2C1B2B3=λ3]，（0≤λ1、λ2、λ3≤1）.

若λ1λ2λ3+（1-λ1）（1-λ2）（1-λ3）[>=<14]，（2）

则[S△C1C2C3]∕ [S△B1B2B3][>=<14].

在上述判定定理中，令x=λ1[-12]、y=λ2[-12]、z=λ3[-12]，（[-12]≤x、y、z≤[12]），即可得到定理的另一种等价的形式：

若xy+yz+zx[>=< ]0，（3）

则[S△C1C2C3]∕[ S△B1B2B3][>=<14].

下面略举数例，以顯示本文引理及判定定理之作用.

[例1]设ABC为任意三角形，点X、Y、Z分别在边BC、CA、AB上，若[BX≤XC]，[CY≤YA]，[AZ≤ZB].求证：

△XYZ的面积≥[14]△ABC的面积.

证明：记[CYCA]=λ1、[AZAB]=λ2、[BXBC]=λ3，

且x=λ1[-12]、y=λ2[-12]、z=λ3[-12].

依题意

[BX]≤[XC]，

[CY]≤[YA]，

[AZ]≤[ZB].

∴0≤λi≤[12]（i=1，2，3），

即[-12]≤x，y， z≤0.

故有

f （x，y，z）=xy+yz+zx≥0，

由判定定理知

△XYZ的面积≥[14]△ABC的面积.

[例2]设M为[△]B1B2B3内任意一点，由顶点B1、B2、B3与M连直线延长后分别交对边于C1、C2、C3，则有

[S△C1C2C3≤14S△B1B2B3].

式中等号当且仅当M是△B1B2B3的重心时成立.

证明：记[B3C2B3B1]=λ1、[B1C3B1B2]=λ2、[B2C1B2B3]=λ3.

由于B1C1、B2C2、B3C3三线共点，

所以λ1λ2λ3=（1-λ1）（1-λ2）（1-λ3）.①

∵[λ1+λ2+λ33≥][λ1λ2λ33] ，

[（1-λ1）+（1-λ2）+（1-λ3）3≥][（1-λ1）（1-λ2）（1-λ3）3]，

∴[（1-λ1）（1-λ2）（1-λ3）3]≤1-[λ1+λ2+λ33]≤1-[λ1λ2λ33]. ②

将①式代入②，得

λ1λ2λ3≤[18].

故λ1λ2λ3+（1-λ1）（1-λ2）（1-λ3）≤[14].

由判定定理知

[S△C1C2C3]≤[14][S△B1B2B3] .

显然，当且仅当λ1=λ2=λ3=[12]即M为重心时，上式等号成立.

[例3]过△B1B2B3内任意一点M作三边的垂线，分别交三边于C1、C2、C3，则[S△C1C2C3]≤[  14][ S△B1B2B3].式中等号当且仅当M为△B1B2B3的外接圆圆心时成立.

证明：如图2，

∵MC2⊥B1B3，MC1⊥B2B3，MC3⊥B1B2，

∴B3[C22]+B1[C23]+B2[C21]=C2[B21]+C3[B22]+C1[B23]，

若λi（i=1，2，3）， x， y， z如判定定理所记，则上式变形为

[b21]+[b22]+[b23]-2λ1b2-2λ2b3-2λ3b1=0，

即x[b21]+y[b22]+z[b23]=0③

（ⅰ）若x、y、z中有一个且仅有一个为零，则

f （x，y， z）=xy+yz+zx<0;

（ⅱ）若x、y、z均为零，

则f （x， y， z）=xy+yz+zx=0，

此时，M为△B1B2B3的外接圆圆心.

（ⅲ）若xyz0，则必有两者同号，不失一般性，设yz>0，由③式得到

x=[-yb23-zb21b22].

于是

f （x，y，z）=xy+yz+zx

=[-yb23-zb21b22]·（y+z）+yz

=[-（y2b23+z2b21）-2yzb1b3cosB2b22]

≤ - [2yzb1b3（1+cosB2）b22]<0.

综合（ⅰ）～（ⅲ），由判定定理知本题结论成立.

四、概率计算

在三维空间，方程xy+yz+zx=0表示一个圆锥曲面，如图3（为使图像清晰，圆锥曲面在第三、六、八卦限的部分未画出）.这个曲面可以看作三坐标轴绕DO旋转而成，因为-[12]≤x，y，z≤[12]，所以方程xy+yz+zx=0所表示的曲面仅限于正方体以内的部分，它与正方体的表面交线均为双曲线的一支.

建立几何模型，使任意一个三角形的内接三角形与正方体内的点建立一一对应关系.

圆锥曲面Q把正方体分割为R、W两部分，用点的集合来表示：

[R=（x，y，z）xy+yz+zx>0]，

[Q=（x，y，z）xy+yz+zx=0]，

[W=（x，y，z）xy+yz+zx<0]，

从图中，我们能直观地看到S′/ S [>=<14]的内接三角形的分布情况.

如果内接三角形的顶点是随机选定的，即x，y，z独立地均匀分布在-[12]≤x，y，z≤[12]的范围内，那么可以通过求R、W的体积来计算S′/ S>[14]与S′/ S<[14]内接三角形的概率.

我们先计算R的体积，R由两个小正方体及分布在另六个卦限的六个相同的曲顶柱体组成，如图4，取第二卦限內的曲顶柱体，计算其一半的体积VM .

[VM=012dz0z-zyz+ydy]

[=0121+ln12z2dz]

[=1241+ln12].

R由12个曲顶柱体与两个体积为[18]的正方体组成，故有

VR=12VM+2×[18]

[=34-12ln2]

=0.4034.

对曲面Q的体积忽略不计，即可得到W的体积约为0.5966.

如果把VR、VM与整个正方体的体积相比较，则得S′/S<[14]的内接三角形的概率近似等于0.4034，而S′/ S>[14]的内接三角形的概率近似为0.5966.

高等数学的少量知识下放到高中课本以后，高考试题中，陆续出现具有高数背景的考题，有的数学教师感觉茫然.其实，高数和初等数学并非两张皮，而是有机的整体，只有在教学中自觉强化高数的思维和方法的渗透意识，才能对高考命题有深刻的理解和把握.笔者撰写此文，目的是以此做例证，使读者能得到一点点启迪.由于水平有限，仅供参考.

[  参   考   文   献  ]

[1]  常庚哲.复数计算与几何证明[M].上海：上海教育出版社，1981.

[2]  程龙.初等数学论丛（第3辑）[M].上海：上海教育出版社，1981.

[3]  陈荣华.关于三角形面积比的一个定理及其应用[J].中学数学教学，1986（4）：6-7.

[4]  刘裔宏，许康，吴茂贵，等.普特南数学竞赛（1938-1980）[M].长沙：湖南科学技术出版社，1983.

（责任编辑 黄桂坚）