Silting模的一个推广

2019-11-12何东林李煜彦

四川轻化工大学学报(自然科学版) 2019年5期

何东林, 李煜彦

(陇南师范高等专科学校数信学院，甘肃陇南 742500)

引言

倾斜理论作为Artin代数表示论中重要的研究课题之一，受到许多作者的关注[1-5]。

Colpi等[6]给出了1-tilting模(未必有限生成)的一个等价刻画：T是1-tilting模当且仅当Gen(T)=T⊥1，其中Gen(T)表示由模T生成的模类。Bazzoni[7]将其推广，得到了n-tilting模的一个等价刻画：T是n-tilting模当且仅当Presn(T)=T⊥i≥1，其中Presn(T)表示由模Tn表示的模类。为了研究Dynkin箭图表示的有界导出范畴的τ结构，Keller等[8]引入了silting复形的概念。在此基础上，2014年Angeleri Hügel等[9]给出silting模的定义，并证明T是1-tilting模，等价于T是具有正合列0→P2→P1→T→0的silting模，其中P1,P2为投射模。2018年Breza等[10]研究了silting模生成的torsion类。Marks等[11]讨论了导出范畴的silting模和cosilting模。Hügel[12]研究了silting模的数量。2019年Marks等[13]又讨论了通过silting模的广泛局部化。因此，可考虑silting模的一个推广—n-silting模，研究其性质和等价刻画，并讨论n-silting模与n-tilting模之间的关系。

1 定义和引理

定义2[7]称左R模T是n-tilting模，如果以下条件成立：

(1)pdR(T)≤n，其中pdR(T)表示模T的投射维数；

(3)存在正合列0→R→T1→T2…→Tn+1→0，其中T1∈AddR(T)(1≤i≤n+1)。

引理1[7]设T是左R-模，则以下条件等价：

(1)T是n-tilting模；

(2)Presn(T)=T⊥i≥1。

引理2[9]设T是左R模，则以下条件等价：

(1)T是1-tilting模；

下面引入n-silting模的概念。

定义3称左R模T是n-silting模，如果存在正合列

其中Pi(1≤i≤n+1)为投射模，且Presn(T)=Dσ。

显然1-silting模就是silting模。

2 主要结果

命题1如果T是n-silting模，那么Gen(T)⊆Dσ⊆T⊥n。

证明设T是n-silting模，则存在正合列

(1)

其中Pi(1≤i≤n+1)为投射模，且Presn(T)=Dσ。

先证Gen(T)⊆Dσ。对任意M∈Gen(T)，存在满同态α：T(I)→M，其中I为集合。对任意同态f∈HomR(Pn+1,M)，由Pn+1是投射模及α是满同态知，存在同态g∈HomR(Pn+1,T(I))使得f=αg。因为T(I)∈Presn(T)=Dσ，所以存在同态h∈HomR(Pn,T(I))，使得g=hσ。令β=αh，则f=αg=αhσ=βσ，即下图可交换

图1 f=βσ的交换图

可见M∈Dσ。由M的任意性知Gen(T)⊆Dσ。

再证Dσ⊆T⊥n。将同态σ：Pn+1→Pn分解为满同态π：Pn+1→lmσ和包含同态λ：lmσ→Pn。令C=Cokerσ，对任意模N∈Dσ，用函子HomR(-,N)作用于正合列

0→C→Pn-1→…→P2→P1→T→0,

(2)

(3)

对任意ξ∈HomR(lmσ,N)，由N∈Dσ易得如下交换图

图2 ησ=ξπ的交换图

综上所述，Gen(T)⊆Dσ⊆T⊥n成立。

例1设左R模T是silting模，则有Gen(T)=Dσ⊆T⊥1成立。

证明因为左R模T是silting模，即1-silting模。根据命题1可得，Gen(T)=Dσ⊆T⊥1显然成立。

证明设T是n-tilting模，则由引理1知Presn(T)=T⊥i≥1。

先证Presn(T)⊆Dσ。对任意M∈Presn(T)⊆Gen(T)，存在满同态α：T(I)→M，其中I为集合。对任意f∈HomR(Pn+1,M)，由Pn+1是投射模及α是满同态知，存在同态β∈HomR(Pn+1,T(I))使得f=αβ。因为T(I)∈Presn(T)=T⊥i≥1，所以存在同态γ∈HomR(Pn,T(I))，使得β=γσ。不妨令g=αγ，则g∈HomR(Pn,M)且f=gσ。可见HomR(Pn+1,M)→HomR(Pn,M)为满同态。从而M∈Dσ。由M的任意性可知，Presn(T)⊆Dσ。

再证Dσ⊆Presn(T)。由假设知Dσ⊆T⊥i≥1。又因为Presn(T)=T⊥i≥1，所以Dσ⊆Presn(T)。

因此T是n-silting模。