积分变换中卷积的微分性质

马纪英，王 潮，姜文鹏

(石家庄邮电职业技术学院，河北 石家庄 050021)

卷积是分析数学中一种重要的运算，是一种积分变换的数学方法，它是通过两个函数生成第三个函数的一种数学算子.卷积与Fourier变换，以及Fourier变换的特殊形式Laplace变换，都有着密切的关系，尤其是卷积定理，把函数卷积的积分变换和函数积分变换的乘积联系起来，大大简化了卷积的计算量，使得Fourier分析中许多问题的处理得到简化.同样，卷积自身又有着诸如数乘、微分、积分、不等式等各种运算性质以及运算规律，其中卷积的微分性质尤其处于显要位置.

1 卷积的概念和微分性质

1.1 Fourier变换卷积的概念和微分性质[1]

若已知函数f1(t)，f2(t)，则积分

称为f1(t)与f2(t)的卷积，记为f1(t)*f2(t)，即

卷积运算满足：交换律、结合律、对加法的分配律；还具有数乘、微分、积分、不等式等基本性质.其中微分性质如下：

1.2 Laplace变换卷积的概念和微分性质

同Fourier变换的卷积一样，Laplace变换的卷积运算也满足：交换律、结合律、对加法的分配律；也具有数乘、微分、积分、不等式等基本性质.其中微分性质如下：

2 微分性质的证明

2.1 Fourier变换微分性质的证明

由卷积运算的交换律f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)，可得

2.2 Laplace变换微分性质的证明

设φ(x)，ψ(x)在区间[a,b]上连续，

证明：根据引理，令f(τ,t)=f1(τ)f2(t-τ)，则有

同样，由卷积运算的交换律f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)，可得

3 微分性质的应用

解令[y(t)]=Y(s).由

取其逆变换可得y(t)=?-1[Y(s)]=sint+y(0)cost，

当t=0时，有y(0)=0.因此，方程的解为y(t)=sint.

4 小结

卷积和卷积定理是Fourier变换和Laplace变换的一类非常重要的性质，在求解积分变换的逆变换，微分、积分方程，偏微分方程的过程中发挥着巨大的作用，虽然卷积并不是很容易计算，但是卷积定理和卷积的运算性质提供了卷积计算的简便方法，化卷积运算为乘积运算，这就使得卷积在线性系统分析中称为特别有用的方法.此外，卷积运算在统计学、概率论、声学、电子工程与信号处理、物理学等工程和数学上都有很多应用.