《皇极历》中的漏刻差分表

曲安京 辛佳岱

(西北大学科学史高等研究院，西安 710127)

刘焯的《皇极历》(公元604年)是中国历史上一部极具创新性的历法，它虽然未获颁行，但是，刘焯在这部历法中创造的分段二次插值算法，对后世历法的编制模式，产生了很大的影响[1]。我们知道，对于历法中的许多计算，为了构造分段的高次插值公式，通常需要预先构造一个(24气的)天文数表，在理想的情形下，这个数表应该是一个完整的差分表。《皇极历》中的夜半漏刻与昏去中星表，就是为了构造相应的分段二次插值公式设计的天文数表。

不过，《皇极历》的这个天文数表，有不少的错讹，严敦杰与陈美东先生对此都有校正，但是，仍然存在不少的问题。主要的原因是，目前的研究者虽然搞清楚了这个天文表的天文意义，但是，对其数学结构均未曾考虑。因此，很难确认已经给出的校勘是否是合适的。本文希望从这个天文表的构造原理入手，重新考察这个问题。

1 问题与原理

《皇极历》收录在《隋书·律历志》卷十八，在1976年中华书局编辑出版的《二十四史》中，严敦杰承担了《隋书·律历志》的校勘，其中对《皇极历》夜半漏刻与昏去中星表的数据给出了8条校勘[2]。陈美东在这个基础上，又给出了8条校勘([3]，页47—48)。为了考验前人校勘的准确性，我们需要解释一下《皇极历》中的夜半漏刻与昏去中星的天文意义和数学关系。

为了计算每日昼夜漏刻的长度、每日昏旦时刻太阳到中星的距离，《皇极历》设计了一张24气的夜半漏刻与昏去中星度天文数表。利用这个天文数表，可以构造相应的分段插值公式，以计算每日昼夜漏刻的长度与当日昏旦时刻太阳到中星的距离。所以，讨论这个天文表的构造方法，是一件有意义的工作。为此，我们将《隋书·律历志》中记录的《皇极历》24气的夜半漏刻与昏去中星度的原文数据照录如表1所示。为方便醒目，我们将原文的数字均改为阿拉伯数字。

夜半漏的单位为刻，1刻=100分，例如，谷雨日，夜半漏为“二十刻 三半”，即这一天夜漏刻一半的长度为20.035刻。

由于对称性，除冬至、夏至外，其余各气的数据应该成对出现，彼此相等，为了便于比较，我们将彼此数据应该相等的两气并列一行，分别依次罗列出两气的夜半漏与昏去中星常数。

例如：查表1大寒与小雪，大寒夜半漏为“二十六刻 七十六”，小雪夜半漏为“二十六刻 九十六”；而大寒的昏去中星为“八十五度 六”，我们用“同左”表示，小雪的昏去中星也是“八十五度 六”。

因此，实际上，表1中共有两栏数字，其中“夜半漏”，是夜漏刻的一半；“昏去中星”，是昏时刻太阳到中星的距离。

表1 《皇极历》夜半漏与昏去中星原始数据

表1中的夜半漏有4处不同、昏去中星有3处不同，严敦杰根据对称性，对这些数据以及冬至夜半漏的数据给出了8条校勘。陈美东根据严敦杰的校勘结果，通过夜半漏来归算昏去中星，对后者又给出了8处新的校勘。这些校勘，采取的根据有二，其一，24气的对称性；其二，昏去中星是根据夜半漏归算出来的。

严敦杰和陈美东的假设是有道理的，不过，他们都忽略了一个事实，那就是，《皇极历》24气的夜半漏常数，不仅满足对称性，而且可能构成了一个高阶的差分表。另外，在根据夜半漏归算昏去中星常数时，陈美东没有考虑各气昏去中星常数之转分(余分)的取舍值的累积效果，由此导致了昏去中星计算结果与原文多处不合，需要校改的现象[4]。

为了搞清楚表1的构造方法，我们首先需要明确夜半漏与昏去中星的数学关系。假设某日昏时刻太阳的宿度为A、中星的宿度为B，令s表示恒星年的长度，则有

由于夜刻=100-昼刻=2×夜半漏，推得：昼刻=100-2×夜半漏。因此有：

所以，昏去中星，就是昏时刻太阳与中星的宿度差。按《皇极历》恒星年

《皇极历》的昏去中星和夜半漏有如下的关系

昏去中星=(50-夜半漏)×3.662576(度)

(1)

因此，昏去中星的数据，可以根据夜半漏归算出来。为此，需要考察《皇极历》24气夜半漏刻的构造方法。

通常，我们可以根据二分二至，将一个回归年划分为四个部分，对于漏刻表来说，冬至和夏至前后，分别是对称的。因此，漏刻表，基本上可以按照冬至前后、夏至前后的6气数据，分别讨论他们的构造方法。

2 冬至前后漏刻表的校正

中国传统数理天文学中的很多天文数表，都可以从差分表的角度来进行分析。例如，我们曾经复原的《大衍历》晷影差分表，就是一个分段的高阶差分表[5]。由于差分表的构造，具有明确的数学意义，因此，一组数据如果构成了一个完整的高阶差分表，就不是可以随意凑出来的。我们可以利用高阶差分表的这个性质，复原或校正历法中的出现了部分错乱数据的天文表。

对于《皇极历》的漏刻表，我们首先以冬至为中心，讨论秋分到春分各气夜半漏常数的构成。根据表1的原始数据，如果进行一点点微调，我们发现，其中的冬至前后的夜半漏，构成了一个完美的5阶差分表，如表2所示。其中“原文”一栏的数据录自表1中的“夜半漏”，单位为“分”，若相应各气的夜半漏原文数据与表2第三栏的“夜半漏”数据相同，则不予录写。例如，立冬的夜半漏原文数据为25.985刻，与表2中的第三栏“夜半漏”数据相同，故未录写。

表2 《皇极历》夜半漏的差分表(冬至前后)

冬至夜半漏原文为27.42刻，应为27.43刻，这个数据已经为严敦杰校改。实际上，根据表1中的夏至昏去中星118度40分，可以验证《皇极历》的夏至夜半漏为17.57刻，与记载相符，由此可以很容易推出，冬至夜半漏为45-17.57=27.43刻。

根据对称性，立春与立冬的夜半漏应该相等，显而易见，立春的25.865刻，出现了错误，应与立冬的25.985刻一致。大寒与小雪的情形类似，两者的夜半漏也应该相等，严敦杰校改为26.76刻，接近正确。

显而易见，《皇极历》冬至前后各气的夜半漏常数，构成了一个非常完整的5阶差分表。现在的问题是，原文记录小寒与大雪夜半漏均为27.26刻，大寒夜半漏为26.76刻，它们与差分表的相应数据均只差0.005刻，是否需要校改？

为此，我们可以通过对冬至前后各气昏去中星常数的归算，来进行验证。

根据表2校改后的夜半漏数据，按照公式(1)，可以归算冬至前后相应各气的昏去中星常数，如表3所示。第四栏“昏去中星”的1度=52转分，其中的“转分”，是将第三栏数据的小数部分乘以52得来的。例如：冬至日昏去中星的计算

第五栏的“累积分”是从冬至起，累加各气第四栏的“转分”，再减去各气第六栏的“取整”数据得到的，这个结果相当于，本气第四栏的“转分”，加上前一行的“累积分”，再减去其“取整”值，例如：立春与立冬的“累积分”

49.75+5.62-6=49.37

第六栏的“取整”值是根据第五栏的数据的“累积分”，按四舍五入得到的。

根据表3，原文记录的昏去中星，除了冬至日的“82度 转分47”明显有误之外，只有小寒与大雪的转分15与原文的转分16稍有差异，其余结果，完全吻合。

表3 《皇极历》昏去中星数据的推算(冬至前后)

那么，如果我们对小寒与大雪、大寒与小雪等四气的两个夜半漏数据不进行校改，结果会是怎样的呢？表4显示，小寒与大雪的夜半漏取27.26刻时，归算的昏去中星为83度14分，与原文(83度16分)不同；而大寒与小雪的夜半漏取26.76刻时，归算的昏去中星为85度7分，亦与原文(85度6分)不同。因此，此四气的昏去中星常数均需要校改，而此时的夜半漏，不再符合表2所展示的完整的差分表。

对于高阶差分表，数据的些微调整，就可能破坏整个差分表的完整性。因此，要构造一个5阶差分表，绝非易事。构造出表2这样的5阶差分表，完全不可能是一种巧合，一定是人为的结果。由此可以判定，大寒与小寒等四气的两个夜半漏数据，应该按照表2第三栏“夜半漏”的数据进行校改。

表4 小寒与大寒夜半漏必须校正的原因

另外，陈美东将冬至的昏去中星值校正为“82度 转分34.5”([3]，页47)，如此，则无论是否对大寒与小寒等四气的两个夜半漏进行校改，都会影响到立春到春分、秋分到立冬等各气的昏去中星的归算结果。例如，此时，立春与立冬的昏去中星的归算结果，均为87度50分，与原文的87度49分不同，从汉语的叙述来说，“五十”与“四十九”是非常不同的，出现这种讹误的可能性相对较小。

综上所述，从数表构造的规范性、与原文的贴近程度、昏去中星的归算结果等方面考量，《皇极历》冬至前后的夜半漏与昏去中星的数据，都应该根据表3中第二栏的“夜半漏”与第七栏的“计算结果”进行校正。

3 夏至前后漏刻表的校正

根据前面的论述，我们可以确认，《皇极历》冬至前后的夜半漏常数，是按照表2所示的差分表构造出来的。按照漏刻的对称性，夏至前后各气的夜半漏常数，应该符合相同的构造规律。由此，我们不难根据原始数据，推算出一个结果，如表5所示。

表5 夜半漏的差分表(夏至前后)

与表2类似，表5中第二栏“原文”的数据，录自表1，单位为“分”。这一栏对应各气的数据若与第三栏的“夜半漏”数据相同，则付之阙如。

按照表5，除了处暑与白露两处明显的错误之外，原文中芒种与小暑的17.69刻、小满与大暑的18.23刻，都与差分表的数据不同。这两组数据，究竟有没有问题，我们仍然通过对昏去中星的归算来进行验算。

根据表5中符合差分表的夜半漏，按照公式(1)，可以归算夏至前后相应各气的昏去中星常数，结果如表6所示。其中各栏目的计算方法和意义，见上一节对表3的解释。在表6中，昏去中星的计算结果，芒种与小暑为118度8分，转分8与原文的转分18不同；小满与大暑为116度17分，转分17与原文的转分19也是不同的。

那么，芒种等四气的两个数据的差异，究竟是原文的讹误，还是有别的原因呢？

表6 根据5阶差分的夜半漏刻推算夏至前后两气的昏去中星

我们按照《皇极历》夜半漏的原始数据，重新归算夏至前后的昏去中星，结果如表7所示。发现只有清明与白露的转分“21”与归算结果的转分“20”稍有误差，其余计算结果与原文完全吻合。这就说明，《皇极历》夏至前后的夜半漏常数，应该是没有完全采纳表5构造的那个5阶差分表，而是对其中的两个数据进行了调整，其中小满与大暑的夜半漏18.23刻，应该是从18.235刻约化而来；芒种与小暑的17.69刻，与差分表的17.745刻差别较大，应该是根据一些其他因素调整的结果。其余各气的夜半漏常数，照录表5中的5阶差分表。

表7 《皇极历》昏去中星数据的推算(夏至前后)

通过这些计算，可以确定，《皇极历》夏至前后的夜半漏常数，应该是先按照冬至前后夜半漏的5阶差分表(表2)的构造方法，构造了夏至前后各气的夜半漏常数，如表5所示，然后，通过将小满与大暑的夜半漏调整为18.23刻，将芒种与小暑的夜半漏调整为17.69刻，而得到《皇极历》夏至前后各气夜半漏的历取值。再根据这些夜半漏的历取值，归算出《皇极历》夏至前后各气的昏去中星的历取值，如表7所示。

表3与表7，分别给出了《皇极历》在冬至前后与夏至前后24气的夜半漏常数，以及据此归算的《皇极历》24气昏去中星度的历取值。从这些计算可以发现，《隋书·律历志》记载的《皇极历》原文，除了冬至日昏去中星度的“转分 47”明显有误之外，只有小寒与大雪的转分“16”与归算结果的转分“15”，以及清明与白露的转分“21”与归算结果的转分“20”稍有误差，其余数据则完全吻合。由此可以确证，表3与表7中记录的24气夜半漏常数与其推算的昏去中星的“计算结果”，应该就是《皇极历》的历取值。

至此，综合表3与表7的结果，可以得到我们对《皇极历》24气的夜半漏与昏去中星常数的校正，我们将这个新的校正结果按照原文的书写形式，罗列如表8所示。

表8 《皇极历》夜半漏与昏去中星表校正结果

续表8

4 结 论

本文发现了《皇极历》24气夜半漏刻常数表的构造形式。刘焯在确定冬至前后各气夜半漏刻的历取常数时，构造了一个完整的5阶差分表，如表2所示。然后，根据对称性，可以构造出夏至前后各气的夜半漏刻常数，如表5所示。不过，由于24气的昏去中星常数，是由相应的夜半漏刻常数归算出来的，根据表7的计算可以证明，刘焯并没有完全照搬表5的夜半漏刻常数，而是在表5的那个夜半漏刻5阶差分表的基础上，对芒种与小暑、小满与大暑的两个夜半漏刻常数进行了调整，其余则采用了表5的差分表的计算结果。我们由此从算法的原理上，对《皇极历》的这个相关的天文数表进行了彻底的校勘。

如表8所示，对原文的48个数据，我们共进行了16处校勘。其中冬至、立春、处暑、白露的夜半漏，雨水、秋分、立冬的昏去中星等7个数据，支持了严敦杰根据24气的对称性所进行的校正结果。小寒与大雪的昏去中星等2个数据，支持了陈美东的校正结果。冬至、清明、白露的昏去中星，与小寒、大雪、大寒、小雪的夜半漏等7个数据，是根据夜半漏刻的5阶差分表而新作的校勘。

本文的发现表明，刘焯在《皇极历》中，有意识地构造了一个5阶差分表，它应该是迄今为止我们所见到数学史上最早的5阶差分表。在13世纪朱世杰创立高阶等差级数的求和公式之前，构造一个高阶差分表，并不是一件容易的事。由此，从算法史的角度来看，这是一项非常了不起的工作。刘焯是如何做到这一点的，我们尚不得而知。但是，隋唐以降，中国数理天文学中涌现了大量的高阶差分表，这些差分表的应用，极大地提升了历法的计算精度[6]，刘焯的《皇极历》不仅创立了二阶插值算法，而且创立了高阶差分表，这些工作的影响无疑是深远且重要的，值得我们进一步深入的研究[7]。