基于DEA生产可能集交形式的交叉效率测度

刘妍珺，马赞甫

（贵州财经大学a．数学与统计学院；b．贵州省经济系统仿真重点实验室，贵州 贵阳550025）

数 据 包 络 分 析 （DEA，Data Envelopment Analysis）于1978年由Charnes等人提出，最初用于测评非盈利性决策单元（Decision Making Unit，DMU）的相对有效性［1］。经40余年发展，DEA已成为常用的非参数效率评价方法与技术描述方法。

经典DEA模型如CCR模型、BCC模型都是采用线性规划方法判别目标决策单元的有效性，其判别标准表现为一个线性评价函数［1－2］。针对每一个决策单元，DEA模型试图判断是否存在一个线性评价标准使得该决策单元是有效的。这一点明显区别于多目标规划方法，后者也习惯于利用线性评价函数寻找相应的有效点。不过，前者是寻找可能的评价函数辩护有效性，而后者是利用确定的评价函数发现有效点。因此，在DEA测评下，不同决策单元的有效性往往被不同的评价标准所支撑，换言之，DEA评价效率的标准具有多重性，并不单一，或认为是DEA方法的固有缺陷。

经典DEA模型虽可区分有效与无效，但在DMU的全排序方面存在不足，主要是难以进一步区分有效DMU。由此引发了一系列的研究工作，比如偏好锥模型、基于标杆值排序、超效率模型以及交叉效率（Cross-Efficiency）模型，等等，均致力于样本的全排序［3－6］。

交叉效率模型应用较为广泛［7－9］，不过，在计算层面尚存在一些问题亟待解决，比如，交叉效率非唯一性问题，这也是众多交叉效率模型得以提出的主要原因［10］。本项研究考虑利用DEA生产可能集的交形式（Intersection Form）测算交叉效率，以处理交叉效率非唯一性问题。

一、交叉效率非唯一性问题

为处理DEA方法绩效测评标准的不一致性，并实现样本全排序，DEA交叉效率概念及相应测评模型得以提出。Sexton等利用决策单元自评、互评体系实现上述目的，所提出的交叉效率评价模型较早且具有代表性［6］。

所谓自评，是指决策单元按照经典DEA模型的惯常做法评价自身效率状况，一般而言，每一个决策单元都在容许范围内自主选择于其最为有利的绩效标准进行自身效率的测评。设所观测到的n个决策单元为：

其中xj为第j个决策单元的输入列向量，而yj为其相应的输出列向量，j＝1，2，…，n。在规模报酬可变性假设下，输出导向下的自评效率为如下BCC模型［2］的最优值之倒数：

其中，列向量ω为输入项权重，而列向量μ为输出项权重；x0与y0分别表示目标决策单元的输入与输出向量，而目标决策单元为式（1）所示n个决策单元之一。

所谓互评，是指相互评价，不仅利用自身奉行的标准评价其它决策单元，也利用其它决策单元所奉行的标准评价自身。比如，若以目标决策单元（xT0，yT0）T的标准测评第j个决策单元的输出效率，则可得到交叉效率为：

其中，矩阵E的第i行第j列元素Eij是第i个决策单元在第j个决策单元所奉行绩效评价标准下的效率值，i，j＝1，2，…，n。显然，矩阵对角线上元素即自评效率，是利用经典DEA模型比如式（2）核算得到的效率值；其它元素则是互评效率值，利用式（3）计算得到。

交叉评价的一个关键性难点问题是Eij并不唯一，因决策单元所奉行的绩效评价标准未必唯一，即自评问题（2）的最优解未必唯一。现结合一个单输入、单输出条件下的输出导向绩效评价问题予以说明，样本如图1中A－E点所示，其中点的横坐标为输入量，而纵坐标为输出量，并假设生产技术状况具体表现为BCC生产可能集，其弱有效边界以粗线进行了标记。

若采用B点所奉行的绩效测评标准测评其它决策单元的效率，可供选择的标准无穷之多，比如，BC直线是一种可行标准，AB直线是一种可行标准，任何介于两者之间的直线如BF直线也是一种可行标准，分别与一个不同的线性评价函数相对应。这意味着他评效率并不唯一。

图1 交叉效率测评标准的非唯一性图

Sexton等利用二次目标函数（Secondary Objective Function）处理他评效率非唯一性问题。其中，常用的二次目标函数有两种，其一为压制形式（Aggressive Formulation），总是选择绩效标准最小化其它决策单元的效率值；其二为亲和形式（Benevolent Formulation），倾向于选择绩效标准最大化其它决策单元的效率值［6］。比如，若B点选择直线AB所表征绩效标准测评其右侧点的效率，则可使得后者在B点测评下的交叉效率取到最小值；与此相反，若选择直线BC所表征的测评标准，则可使得后者效率取到最大值。

需要指出的是，若评价对象不同，给定效率标准所表征出的压制或亲和属性未必一致。比如，给定AB所表征的绩效标准，对于B点右侧点具有压制意义，而对于其左侧点却具有亲和性质。

不难发现，不论采用压制形式还是亲和形式进行交叉效率评价，其测评标准总是与DEA生产可能集的不同前沿超平面相联系。欲认识这一点，需考虑DEA生产可能集的交形式，在该种形式下，生产可能集的前沿面具有确定性。

二、DEA生产可能集的交形式

一个基本事实是，经典DEA模型绩效评价的标准是由弱DEA有效的决策单元所确立的，与非弱DEA有效的决策单元并无多大关联。因此，交叉效率的标准也主要决定于弱有效决策单元，非弱有效决策单元只能接受、选择标准。类似地，DEA生产可能集的交形式也仅决定于弱有效决策单元。考虑及此，可利用集合的交形式测评交叉效率。

DEA不仅仅可评价相对效率，还可以在非参数意义下描述生产技术关系，其基本工具就是DEA生产可能集。作为一个数理经济模型，DEA生产可能集总是基于若干假设条件，或称公理体系。关于不同公理的确切含义，可参考魏权龄教授关于DEA的专著［11］。

比如，满足平凡性、凸性、锥性、无效性、最小性假设的CCR生产可能集表现为如下和形式（Sum Form）：

就式（5）所示生产可能集而言，其有效性元素（还有其它部分元素）均可表示为样本点的非负加权和形式，故称该种形式为生产可能集的和形式。考虑到该集合为凸集，利用凸集等价定理，一定可以表示为所有包含它的半空间的交集形式［12］，即该集合还具有如下交形式：

在维度较高的情况下，确定生产可能集的交形式并不容易。所幸，魏权龄等人已提出成熟的算法，且开发出相应软件，方便于生产可能集的形式转换［13－14］。

显然，交形式可用以测评DEA效率。在交形式下，很容易判断给定输入下输出是否满足弱有效性，或给定输出下的输入是否满足弱有效性，也可评估一个无效目标决策单元效率改进的余地，还可据此开发所谓的DEA测评机，用于数据挖掘［15］。另外，因交形式更为直接地界定了生产技术关系，便于后续经济分析与应用［14］。比如，可用于测评规模报酬与拥挤（Congestion）状况［16］。又如，便于计算满足最小欧式距离的投影，确保无效决策单元在输入、输出方面都得到快捷的改进［14］。

需要指出的是，DEA生产可能集的交形式具有确定性。给定一个凸集，包含该凸集的半空间有无穷之多，对于某些特殊凸集，可能需要无穷多个半空间才能以交形式界定该凸集。但是，考虑到经典DEA生产可能集的特征，只需要有限个半空间即可确定该集合。而且，针对经典DEA生产可能集，总是可找出满足最小个数的半空间即确定该集合，在这一意义下，满足条件的半空间总是确定的，故称DEA生产可能集的交形式具有确定性特征。因为每一个半空间都确定了DEA生产可能集的一个前沿面，与一个线性评价函数相对应，可根据该形式核算交叉效率。

三、基于生产可能集交形式的交叉效率模型

在给定假设条件下，由样本决定的DEA生产可能集是确定的，或者说，其前沿超平面形式是确定的。设由n个决策单元所确定的DEA生产可能集其交形式中含有κ个前沿超平面，也就是说，我们至少需要κ个半空间取交集才能确定该集合。于是，针对每一个决策单元，可能存在κ个绩效测评标准。

需要指出的是，未必每一个前沿超平面都构成绩效测评的标准。特别是弱有效而非有效性前沿超平面不一定能构成绩效测评标准，需要做出取舍。若存在κ个绩效测评标准，则针对所观测到的样本可得到交叉效率矩阵为：

矩阵EIF的第i行第j列元素eij是第i个决策单元在第j个绩效评价标准下的效率值，i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，κ。在每一个绩效标准下，效率是唯一的，于是，就每一行元素求其算术平均，即得到每一个决策单元的交叉效率值：

上述计算均等地对待每一个绩效评价标准，当然，还可以按照标杆值做区分性对待，此时就式（8）进行相应调整即可。如此处理，相当于确立了交叉效率矩阵E与EIF之间的内在联系。

就CCR模型、BCC模型等经典DEA模型而言，输入导向或输出导向下的效率值事实上反映了目标决策单元与给定前沿面的位置关系。而交叉效率值则在一定程度上反映了目标决策单元距离所有前沿面的位置关系，更为精准地刻画了决策单元在DEA生产可能集中的几何位置。

四、计算步骤与案例

在交形式下，DEA生产可能集的前沿面个数是有限的，且形式是确定的。因此，可考虑利用这有限个确定的前沿超平面对每一个决策单元进行效率的全方位测评。具体而言，本文按照如下程序核算基于DEA生产可能集交形式的交叉效率值。

第一，按照和形式、交形式转换方法［13］，确定给定DEA生产可能集的交形式，给出其全部前沿超平面的方程。其中，所求取的前沿超平面满足个数最小条件，即若剔除其中任意一个前沿超平面，则由剩余前沿超平面所界定的半空间的交集将不再等价于原生产可能集。就经典DEA生产可能集而言，交形式所含前沿超平面个数必然是有限的。

第二，视每一前沿超平面方程为一个效率评价标准，即线性评价标准，利用效率指标的具体形式计算每一个决策单元在不同评价标准下效率值，得到交叉效率矩阵。

第三，核算交叉效率值的平均值，定义其为交叉效率指标值。这里可区分两种不同的均值运算，其一是简单算术平均数，等同地对待每一个评价标准，将同一个决策单元在不同评价标准下的效率值进行简单算术平均运算；其二则是加权算术平均数，根据标杆值就每个前沿超平面进行赋权，然后计算效率的加权算术平均值。

现利用交叉效率DEA模型考察中国1978—2014年间宏观经济生产状况，决策单元由年度就业人数、资本存量、国内生产总值表征，其中年度就业人数（L）、资本存量（K）为输入，而国内生产总值（GDP）为输出，数据如表1所示。

表1 1978—2014年间中国宏观经济生产相关指标数据

假设生产技术关系满足规模报酬不变性（Constant Return to Scale，CRS），在给定样本下，表现为一个CCR生产可能集。先利用DEA生产可能集的形式转换方法确定其交形式为IFCCR＝｛z｜Az≥0｝，其中zT＝（L，K，GDP），而

在本例中，CCR生产可能集的前沿面由13个前沿超平面所构成，其中含有效前沿超平面11个，非有效性但满足弱有效性的前沿面2个。需要指出的是，矩阵A的每一行都是一个前沿超平面的法向量，可界定一个前沿超平面，而集合条件中的每一个不等式则界定了一个半空间，13个半空间的交集则界定了CCR生产可能集。

每一个前沿超平面都可作为绩效测评的参照标准，因超平面均过坐标原点，故唯一决定于其法向量。就每一个决策单元，分别计算其在13个效率标准下的产出效率，进而计算其算术平均数，并定义其为简单交叉效率值，结果如表2所示。

上述操作无差异地对待每一个绩效测评标准，基于简单算术平均值核算交叉效率值。若区别对待不同绩效标准，结果略有不同。为简单起见，可基于标杆值就绩效测评标准进行赋权，全部13个前沿超平面的权重向量为：

表2 1978—2014年间中国宏观经济生产不同效率指标值

各前沿超平面的权重决定于其标杆值，即究竟有多少决策单元选择以该标准为绩效测评的标准，或者说，选择将产出投影搁置于该超平面之上，如图2所示。

图2 年度资本产出比与劳动产出比图

利用该权重向量就全部交叉效率进行加权算术平均运算，即得到每一个决策单元的加权交叉效率值，具体结果如表2所示。为对比起见，计算了各决策单元的CCR输出效率指标值，结果参见表2。

不难看出，相较CCR效率而言，交叉效率值具有更高的区分度，可实现全部37个决策单元的全排序，其中以2007年交叉效率值为最高，而1978年最低。而且，交叉效率表现出更为明显的趋势与阶段性特征，其中，2007年前为宏观经济生产效率整体上升期，之后则逐年有所下降。

五、结 论

DEA效率具有相对性，每一个决策单元总是在可容许的范围内选择对其最为有利的评价标准，以获得尽可能大的效率值。因此，在给定假设条件下测评DEA效率时往往存在多种标准。现有交叉效率模型将目标决策单元置于所有其它决策单元所奉行的效率标准下进行绩效测度，考虑到每个决策单元所奉行的标准未必单一，特别是有效决策单元往往存在多个支持其有效性的标准，因此交叉效率值往往不唯一。这是现有交叉效率测度模型需处理的基本问题。

在本项研究中，同样需要计算目标决策单元在不同效率标准下的效率值，不同标准区别于生产可能集的不同前沿超平面。我们所强调的在交形式下，DEA生产可能集的前沿超平面是确定的，因此交叉效率也是确定的。当然，问题的难度在于第一步，即需要确定DEA生产可能集的交形式及相应的前沿超平面方程。

概括而言，现有交叉效率模型是利用不同决策单元进行交互评价，因每一个决策单元所实施的标准可能不唯一，从而产生标准的选择问题。与此相区别，我们所考虑的交叉效率模型是基于DEA生产可能集交形式，交叉效率的特征主要体现在我们采用了集合全部而非单一的前沿超平面方程。在交形式下，生产可能集的前沿超平面是客观确定的，故相应的交叉效率也具有客观性与确定性。