利用基本不等式求函数最值的四个策略
2019-11-07江苏省无锡市第六高级中学陈伟斌
江苏省无锡市第六高级中学 陈伟斌
江苏省无锡市青山高级中学 张启兆
基本不等式反映了两个正数和与积之间的不等关系，所以在求积的最值、和的最值时，基本不等式焕发出强大的生命力，它是解决最值问题的强有力工具。利用基本不等式求最值也有下面一些需要注意的地方。
一、理解基本不等式的本质
二、牢记三个题根
1.已知x＞0，求的最小值。
解析当且仅当x=3时取“=”，故的最小值为6。
变式：已知x≥4，求的最小值。
解析：此时不能用基本不等式，可利用函数的单调性求解，答案为
2.已知x＞0，y＞0，若，求x+y的最小值。
解析：(解法1)x+y=（x+y）·=16，当且仅当，即x=4，y=12时，x+y取得最小值16。
评注：属“知和求和”型，使用“乘1 变换”。
3.已知x＞0，y＞0，若x+y=1，求的最小值。
解析：，当且仅当且x+y=1，即取得最小值16。
评注：属“知和求和”型，使用“1 代换”。
三、掌握四个策略
1.乘“1”变换
例1如图1，已知函数y=ax+b(b＞0)的图像经过点P(1，3)，则的最小值为____。
图1
解析：因为函数y=ax+b(b＞0)的图像经过点P(1，3)，所以a+b=3，且a＞1。
整理得(a-1)+b=2，且a-1＞0。
评注：在求和的最小值时，为了凑出积的定值，有时需要乘上“1”的等价式。本题也可以通过乘“1”代换的方法解决。
2.“1”代换
例2已知a，b均为正数，且ab-a-2b=0，则的最小值为____。
解析：因为a，b为正数，且ab-a-2b=0，所以因此1=7，当且仅当a=4，b=2时取“=”。
评注：1的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形。首先要学会“结构分析”，其次要熟悉不同结构的变形策略，这是处理问题的关键，要思考如何变形才能简化式子，进而达到“和”或“积”为定值的效果。
3.换元法
例3已知a，b为正数，且a+b=2，则的最小值为____。
解析：设t=b+1(1＜t＜3)，则b=t-1，且a+t=3。，当且仅当且a+t=3，即时取“=”。
评注：条件不等式的最值问题，一般通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解。换元法是一种常用转化方法，换元后能使用基本不等式是换元的前提。
4.利用不等式链
例4已知正实数a，b满足9a2+b2=1，则的最大值为____。
解析：因为正实数a，b满足9a2+b2=1，所以当且仅当且9a2+b2=1，即时取“=”，故的最大值为
评注：(1)基本不等式链：若a，b都是正数，则当且仅当a=b时等号成立。基本不等式链揭示了两个正数的算术平均数、几何平均数调和平均数平方平均数之间的不等关系，是基本不等式的推广，要熟记。
(2)此题直接平方后，也可利用不等式求解。1=9a2+b2≥6ab，当且仅当且9a2+b2=1，即时取“=”，故
