归纳方法在初中数学教材中的渗透浅议

甘秀泉

摘 要 数学归纳是学生在数学学习中经常用到的思想方法，在教学活动中正确渗透归纳法，便于学生整体性把握教材。本文主要介绍归纳法在“定义性质、定理及数学知识结构”等几方面的渗透，目的在于使学生掌握归纳法，提高论证推理能力。

关键词 数学教学;归纳方法;教材渗透

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2019）22-0075-01

受新时代浪潮冲击的数学教学，同样面临着持续、深入改革的新形势，而这一改革应紧密围绕“开发智力，培养能力”这一主题展开。

匈牙利（美籍）数学家G·波利亚在他的《数学与猜想》一书中的序言中明确指出：“数学家的任何研究都应具有创造性，在创造的过程中一刻也离不开论证推理，也就是证明。数学研究中的证明常常是通过科学的猜想得以实现的”，因此他进一步指出掌握两种推理的必要性：“每一个会学习、有成就感的学生在数学学习中必须要掌握正确的论证推理方法，这是由数学知识的逻辑结构决定的。但是，为了使他们真正取得数学成就，还需要教会他们掌握合乎事理的推理”。

就目前学生的数学学习状况而言，笔者认为他们不仅缺乏论证推理能力（平几尤为突出），更缺乏合乎事理的推理能力，合乎事理的推理就是运用正确的思维方式进行猜想（而猜想又以类比、归纳总结为基础），拿到一个定理或具体的证明题目，很少猜测证明的思路。

从教学的角度看，无论是教者的“教”还是学生的“学”，其主要宗旨是在数学学习活动中培养学生的推理能力和思维能力。切实掌握解决“特殊”与“一般”的演绎和归纳方法，正是达成此项要求的有效途径和手段之一。

归纳，是以各种特殊、个别的论证结果作为研究基础的，然后通过对这些一个个具有特殊性论断的分析，归结总结出具有普遍性特质的结论。其实归纳方就是从特殊到一般的推理方法。本文就归纳方法在初中数学教材中的应用谈谈实践感悟。

一、定义、性质方面

如“n次方根”的定义，如果没有“二次三次方根”的铺垫，同学们一下子是难以接受的。因此，我们应首先讨论“二次、三次方根”及其性质（正数有两个互为相反数的二次方根;正数有一个正的三次方根，负数有一个负的三次方根;零的二次方根为零，零的三次方根为零），然后很自然地过渡到“n次方根”的定义及其性质的学习。学习中要求学生对照“二次、三次方根”及其性质的分析方法思考：（正数的偶次方根有几个？它们有什么关系？正数的奇次方根是几个？为正数还是负数？负数的奇次方根和正数奇次方根有什么异同？零的奇、偶次方根是不是都为零？）。

“相似多边形”一节，虽然很多课本利用六边形为直观图形讨论其基本性质，但同学们却能比较自然地联想到“相似多边形”的这些性质并接受。这与同学们具有“归纳”的思想是分不开的。还有“正多边形和圆”的性质讨论，教材一般也是以学生具有“归纳”思想作为基础，以正五边形为例，具有同样的效果。

“二次根式”的性质是以几个公式的形式给出，要让学生很好地掌握这些公式，最好能让学生了解公式的来源、推导公式。但应考虑到不少学生在初二刚开始接受严格的推理论证有困难，因此，教材主要通过一些简单的实例做归纳，说明这些公式的合理性。

教材中这样的例子很多，以上几例足可看出，“归纳”对于“下”定义，讨论性质具有不可低估的作用。

二、定理方面

关于“平行线分线段成比例”定理，有的教材没有作出详细、严格的证明，只是作了一些说明，但它的思想方法与证明是相同的。教学中只要求学生承认这个结论，并会具体运用就可以了，因此教材中的归纳性说明同样起到了应有的作用。

试想，没有归纳思想，而让学生“量”——“余”——说明成比例，再“量”——“余”……如此无休止循环下去，那还“得了”？

圆周角定理，弦切角定理以及余弦定理的证明，都是从仅有的特殊情况入手，最后归纳总结出一般结论。

三、知识结构方面

比较突出的是平面几何的知识结构，一般呈现“定义——判定——性质”三段式，它能给同学们一个有“章法”可“仿”、有“规律”可“循”的印象，从而既合情又顺理地逐个讨论“平行线”、“全等三角形”、“等腰梯形”……的“定义、判定、性质”，而不是每接触一个课题，就犹如走数学“迷宫”，无头无绪。

教材在介绍一些公式、性质、定义或法则时，尽可能遵循“实例或演绎——公式、性质定义或法则——译成文字数学语言——图形（几何）解释”这一线索，这样一环扣一环地深入下去，学生对所学知识就会有一个正确的、全面的、数形结合的认识。

归纳法对数学的发展起着很大的思维引导作用，因为数学的证明虽然是演绎的（注意：“数学归纳”其原理之所以正确，是依赖于最小数原理。即在具有某种性质的自然数集合中必然有一個最小的，从公理出发，证出数学归纳法的原理，得到数学归消法，但它的实质应当是一个演绎的逆推证法，实属命名不当，有时很容易引起误会，应当正名）。但在证明之前必须先有结论，说明就是证明结论的正确与否，没有结论就谈不上证明，而结论的导出，在许多情况下是依靠归纳的，归纳是探索规律、发现规律的一种重要途径，科学的发展是归纳和演绎有机渗透、相互融合结合的产物，我们应该启发学生，多注意个别事例或现象的归纳总结，从中找到或猜出规律，然后证明之，这才是科学的方法。

参考文献：

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