基于工科研究生“有限元方法”的《数值分析》教学探讨

王敏 杜廷松

摘要：《數值分析》是工科研究生的一门重要的基础课程，针对当前教学中遇到的问题，文章探讨了以有限元方法为应用背景讲授数值分析课程的教学方式。

关键词：《数值分析》;有限元;教学

中图分类号：G642.0     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2019）37-0199-02

一、引言

《数值分析》是工科研究生的一门重要的基础课程，其基本思想是使用数值计算方法以计算机为工具得到数学模型的数值解。该课程连接了数学与工程，是典型的理论与实际相结合的课程。因为课程涉及一些高等数学和线性代数的背景知识，并且有较多的数学公式，看起来计算比较烦琐，所以很多学生仅仅是把它当作另外一门数学课，而没有认识到该课程和实际应用之间的紧密联系以及该课程知识在处理工程问题时的强大威力。

“有限元方法”是利用数值方法对物理系统及工程进行仿真求解的一种方法，是诸多工程问题的重要求解工具之一。有限元方法求解工程问题的计算流程为：用简单网格将待求区域分解为多个独立单元;再利用网格节点将各独立单元连接整合为整个区域;区域信息离散至各个节点;结合边界条件实现节点信息的求解;实现有限个离散节点对连续未知量的逼近。

结合两门课程的特点，若以有限元方法为应用背景讲授《数值分析》的相应内容，既能帮助学生直接领会理论在实际中如何应用，又可以培养学生寻求数学工具解决生产实践中遇到的问题的能力，实现以用带学、学以致用的目的。

二、数值分析方法在有限元方法中的应用

1.插值法在有限元中的应用。插值法是数值分析的一个重要知识点，主要包括拉格朗日插值法、牛顿插值、埃尔米特插值、样条插值等。在实际教学中往往存在学生机械背诵插值公式，对于插值的用途和特点很难有深刻体会。而工科研究生经常使用的工具有限元方法中会经常涉及利用三角形单元或四边形单元对区域进行离散，实现网格剖分，在离散的过程中使用的形函数就是拉格朗日插值基函数的应用。

以有限元中的长宽分别为a、b的四节点矩形单元为例，对连续位移构造逼近函数：

2.数值积分在有限元中的应用。对《数值积分》的相关知识学生往往存在以下困惑：为什么要用数值积分，而不是直接使用牛顿莱布尼兹公式求解？牛顿—科特斯积分直接应用就可以了，为什么还要介绍高斯积分？这些积分方法的用处是什么？在有限元中无论是计算刚度矩阵还是荷载列阵时都要用到定积分，通常是多元函数的重积分。分布体力的等效节点荷载矩阵、分布面力的节点等效荷载、刚度矩阵计算公式分别为：

f（ξ，η，ζ）通常非常复杂，难以求出其原函数，即使能够求解，其积分也非常烦琐，更甚者要面对大规模计算，因此，寻求数值积分就是必然需求。工程计算中计算效率非常重要，同样的节点数高斯积分的代数精度高于牛顿—科特斯公式，若是增加节点数目，整个计算规模会显著增加，从而数值积分相关知识可以立体全面地掌握。

3.线性方程求解数值方法在有限元中的应用。利用变分原理和离散化建立有限元矩阵方程后，加上边界条件，得到一个系数矩阵非奇异的高阶线性方程组。该矩阵方程的未知量通常为节点位移。应用数值分析中介绍的各种数值方法，诸如高斯消元法、雅克比迭代法、LDLT分解法、共轭梯度法等，均可对有限元矩阵方程求解。通过对有实际背景方程的对比求解，可以在介绍各种不同算法的同时帮助学生了解工程中广泛出现的稀疏矩阵、三对角矩阵作为系数矩阵的线性方程组那种算法更为精确、高效。

三、小结

数值分析方法是应用数学理论解决工程实际的重要工具;有限元方法是在实际中广泛使用的技术;有限元的各个步骤都离不开数值分析方法的应用。针对当前《数值分析》教学中遇到的问题，提出以有限元方法为应用背景给工科研究生讲授《数值分析》的各知识点，以期加深学生对《数值分析》各算法的理解，进一步帮助学生学习和科研。

参考文献：

[1]王能超.数值分析简明教程（修订版）[M].武汉：华中科技大学出版社，2002.

[2]李开泰，黄艾香，黄庆怀.有限元方法及其应用[M].科学出版社，2006.

[3]杜廷松.关于《数值分析》课程教学改革研究的综述和思考[J].大学数学，2007，23（2）：8-15.

Exploration of the "Numerical Analysis Course" Based on the "Finite Element Method" for the Engineering Postgraduates

WANG Min，DU Ting-song

（College of Science，China Three Gorges University，Yichang，Hubei 443002，China）

Abstract："Numerical Analysis" is an important basic course for engineering graduate students.In view of the problems encountered in current teaching，this paper discusses the teaching method of numerical analysis course based on the application of finite element method.

Key words："Numerical Analysis"; finite element; teaching