有界半Hoops上的时态算子
2019-10-24牛海灵辛小龙
牛海灵,辛小龙
(西北大学数学学院,陕西 西安 710069)
1 引言
Hoops代数是自然序的交换剩余整幺半群,由文献[1-2]引入.半Hoops是Hoops的一般化,它最初由文献[3]引入,被称为互补半群.半Hoops[4]是最基本的剩余结构,而且包含所有基于剩余格的逻辑代数.它与剩余格[5]比较,半Hoops是交半格,不满足并半格;与Hoops代数比较,半Hoops是不满足可分性.
对于命题逻辑,经典和非经典逻辑都不包含时间维度,为了获得时态逻辑,文献[6]用新的一元算子来丰富给定的命题逻辑,用G,H,F,P表示,通常把这些算子叫做时态算子.时态算子F和P通过G和H来表示:
文献[6]首次引入时态算子在经典逻辑中,随后,在非经典逻辑中引入时态算子.比如说,Hetying代数,Basic代数和Effect代数上的时态算子[7-9].近年来,越来越多的学者不断地在不同逻辑代数中研究时态算子,如:模糊逻辑,MV-代数上,伪MV-代数上,不可交换剩余格上的时态算子[10-13]等.
基于以上内容,拓展了时态算子在更广泛的非经典逻辑代数中,即半Hoops.给出了半Hoops上的时态算子及研究其性质,给出了时态滤子的定义,刻画了时态滤子.探究了极大时态滤子,得到了一些重要结果.
2 预备知识
定义 2.1[4]一个(2,2,2,0)型的代数A=(A,⊙,→,∧,1)若满足下列条件:
(1)(A,∧,1)是一个有最大元1的交半格;
(2)(A,⊙,1)是一个可换半群;
(3)(x⊙y)→z=x→(y→z),对任意的x,y,z∈A.
则称 (A,⊙,→,∧,1)为半 Hoops代数.
在一个半 Hoops代数 (A,⊙,→,∧,1)上,定义对任意的x,y∈A,x≤y当且仅当x→y=1.易验证≤是A上的偏序关系,对任意的x∈A,x≤1.
对任意的x∈A,定义x0=1且xn=xn−1⊙x对任意的n∈N.
命题 2.1[4]设 (A,⊙,→,∧,1)是一个半 Hoops代数.则下面性质成立:对任意的x,y,z∈A,
(1)x⊙y≤z当且仅当x≤y→z;
(2)x⊙y≤x,y;
(3)1→x=x,x→1=1;
(4)xn≤x;
(5)y≤x→y;
(6)若x≤y,则y→z≤x→z,z→x≤z→y且x⊙z≤y⊙z;
(7)x→y≤(z→x)→(z→y),x→y≤(y→z)→(x→z);
(8)y⊙(y→x)≤x.
一个半Hoops(A,⊙,→,∧,1)称为有界半Hoops,若存在一个元素0∈A使得对任意的x∈A有0≤x.
在一个有界半Hoops代数(A,⊙,→,∧,0,1)中,对任意的x∈A,通过¬x=x→0定义运算“¬”.若对任意的x∈A有¬¬x=x,则称这个有界半Hoops(A,⊙,→,∧,0,1)具有双重否定性,简称为DNP条件.
为了方便,记有界半 Hoops代数 (A,⊙,→,∧,0,1)为A.
命题2.2[14]设A是一个有界半Hoops代数.则下面性质成立:对任意的x,y∈A,
(1)¬1=0,¬0=1;(2)x≤¬¬x;(3)¬x=¬¬¬x;
(4)若x≤y,则¬y≤¬x;(5)x→y≤¬y→¬x;
(6)¬x→y≤¬y→x.
命题 2.3[14]设A是一个有界半Hoops代数.对任意的x,y∈A,定义
则以下条件等价:对任意的x,y,z∈A,
(1)∨在A是可交换的;
(2)若x≤y,则-x∨z≤y∨z;
(3)x∨(y∧z)≤(x∨y)∧(x∨z);
(4)∨是A上的并运算.
命题 2.4[14]一个半Hoops称为是∨−半Hoops,若它满足命题2.3中的其中一个条件.
命题 2.5设A是一个有界∨−半Hoops代数.则下面性质成立:对∀x,y∈A,
(1)¬(y∧z)≥¬y∨¬z;
(2)(x∧y)⊙z≤(x⊙z)∧(y⊙z).
3 有界半 Hoops上的时态算子
定义3.1设A是一个有界半Hoops代数且G,H:A→A是一元算子.(A,G,H)称为时态半Hoops,(G,H)称为时态算子,若满足下列条件,对任意的x,y∈A,
(A1)G(1)=H(1)=1;
(A2)G(x→y)≤G(x)→G(y),H(x→y)≤H(x)→H(y);
(A3)x≤GP(x),x≤HF(x),其中P(x)=¬H(¬x),F(x)=¬G(¬x).