一类具有非线性捕获项的捕食系统概周期解的存在性

魏臻

(福建师范大学福清分校电子与信息工程学院,福建 福清 350300)

1 引言

Voterra在1931年提出了捕食系统

对该模型,大量学者已经作了深入研究,但单纯的微分方程无法全面准确描述生物系统的某些性质.捕获量作为研究种群动力学行为的一个重要因素,近年来已引起学者的兴趣[1-3].文献[4]改进了系统(1),加入了非线性捕获项,如下:

使之更加合理化,研究了平衡解的稳定性以及分支,讨论了系统复杂的动力学行为.

在系统(2)中,作者假设系统的系数均为正常数,这在自然界中是不存在的,自然界中环境会随着时间的变化而变化.因此,考虑系统的系数会随时间变化的非自治模型更为合理.另一方面,在自然界中,一个物种的生存资源通常情形下是有限的,进一步考虑了捕食者种群的密度制约因素,用q(t)y2来表示,这是比较合理的.

本文研究具有密度制约项和非线性捕获项的非自治捕食系统

其中x(t),y(t)表示t时刻食饵和捕食者的种群密度,g(t)表示捕获能力,E(t)表示收获的捕捞努力,a(t),b(t),c(t),d(t),e(t),q(t),g(t),E(t),m1(t),m2(t)是[0,+∞)上非负连续的概周期函数.

由于环境变化非严格意义上的周期性变化,用概周期性变化来描述更合适,并且概周期现象在现实中更容易见到,在许多实际问题中,考察其概周期现象更切合实际.因此研究系统(3)的概周期性是必要的,目前尚未见这方面的工作.

2 持久性和全局渐近稳定性

3 概周期解的存在性

此外,设(6)式对t≥t0≥0有解位于紧集S中,S⊂D,则(7)式在D中有唯一概周期解p(t),p(t)位于S中,它是一致渐近稳定的,且mod(p)⊂mod(f).

定理 3.1如果概周期系统(3)满足条件(H1)和(H2),则系统(3)存在唯一的正概周期解,且此解是全局渐近稳定的.

证明系统(3)的伴随系统为

其中ξ(t)介于X1(t)和X2(t)之间,η(t)介于Y1(t)和Y2(t)之间.

令N=min{N1,N2}.则D+V(t)≤ −µN[|X1(t)−X2(t)|+|Y1(t)−Y2(t)|]满足引理3.1条件(iii).故概周期系统(3)存在唯一的正概周期解,且是一致渐近稳定的.又由定理2.2知,系统(3)存在唯一的全局渐近稳定的正概周期解.

4 例子和数值模拟

满足条件(H2).设初始条件为(x(0),y(0)=(1,1),(0.5,0.5),(1.2,0.8),(0.6,1.5),从图1可以看出存在唯一的正概周期解,且是全局渐近稳定的.

图1 系统(9)的概周期解