一道高考立几解答题的解析及教学启示

陈艺平

(福建省龙海第一中学新校区 363100)

近日,在课堂上讲解一道高考立几解答试题,本以为是较为简单的题目,因而没有给出预设,学生却在课堂上给出了不一样的精彩解答.现整理如下,以期共勉.

一、试题呈现

(1)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥面PBE,并说明理由;

(2)若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与面PCE所成角的正弦值.(略)

二、课堂实录

1.初步分析

师:本题的第一步是属于存在性问题的证明,找出的点M必须满足两个条件:(1)M∈面PAB;(2)直线CM∥面PBE.请同学们思考:如何找出满足上述两个条件的点M?

生:思考……

师:首先,大家一起把与四边形ABCD有关的条件理顺,进而看看能得到哪些有用的结论.

生(一起):与四边形ABCD有关的条件是:

师:是的,按照上述条件,不妨将底面四边形ABCD单独分解出去,如图2所示.可知四边形BCDE为正方形.下面请同学们思考:在四边形ABCD中,直线AB与CD的位置关系如何?

生1:同一个平面内的两条直线只有相交和平行这两种情况,显然直线AB与CD是相交的.

师:回答得很好.既然这两条直线是相交的,我们把它们延长,交于一点,如图3所示.假设交点为M.请同学继续思考:这里的点M就是我们要找的点吗?

生2:由于四边形BCDE为正方形,所以CM∥BE.又BE⊂面PBE,CM⊄面PBE,所以CM∥面PBE.

师:该同学证明了CM∥面PBE,也就是点M满足条件(2);还必须证明点M满足条件(1).

生3:由于M∈AB,AB⊂面PAB,所以M∈面PAB.

师:同学们回答得很好,通过大家的共同努力,我们完成了本道题目第一步的证明.对于该步,我们并没有采用建系法解决问题,这显然不是命题者的初衷.命题者设计该步的目的,从知识层面来讲是要考查同学们对立几何中点,线,面位置关系的理解以及相关性质定理的应用,从能力层面来讲是要考查同学们对图形整体上的直观感知能力,通过直观的形象和对图形的把握,发展空间想象力.因此,对于立体几何试题,同学们要注重基础,概念,公理,性质,定理,而不是一味地去追求建系,以算代证,从而扼杀了几何方法的直观简洁之美,将几何推证沦为机械计算的数字游戏.

2.思维碰撞

当笔者总结完本步,准备讲解第二步时,学生4给出了自己的想法.

生4:我觉得还可以这么处理.如图4所示.过点P作PM∥AB且PM=AB,则此时的点M也是符合题意的点.

师:该同学给出了不一样的点M,说明同学们有认真在思考.那么这样的点M能满足上述两个条件吗?

生5:可以.如图4所示,按照生4的作法,可知四边形PMBA为平行四边形,显然M∈面PAB,满足条件(1).连接CM,CE,由于CE平行等于AB,PM平行等于AB,所以PM平行等于CE,因此四边形PMCE为平行四边形,故有CM∥PE,即CM∥面PBE,也就是点M满足条件(2).

师:同学们真棒,给出了不同于老师的想法,并且证明了结论的正确性,非常值得赞赏.相信通过这样的探究,同学们对立体几何当中直观感知,操作确认,思辨论证，度量计算等方法认识和探索几何图形与空间性质的过程有了更深刻的体会.

3.乘胜追击

在与学生一起分析了上述新的思路之后,笔者看到学生热情高涨,不由自主地问:还有别的想法吗?此时又有一个同学提出了自己的看法.

生6:老师,我还有一个想法.可以延长PM,使得PM=PA.则此时的点M也是符合题意的点.

师:(十分惊讶,感叹同学们还有新的思路)这位同学又给出了一个新的思路,现在让我们一起思考:这样的点M能满足上述两个条件吗?

众生:(跃跃欲试,干劲十足)连接CA,交BE于点O,根据三角形的全等可知点O为CA中点.又点P为AM中点,所以CM∥PO,即CM∥面PBE,也就是点M满足条件(2).又由于M∈AP,AP⊂面PAB,所以M∈面PAB,满足条件(1).

师:同学们的思维十分活跃,又给出了一个不一样的点M.充分说明大家真正理解了本道试题并提升数学思辨智慧以及数学核心素养.由于时间关系,对本道试题的讨论暂时告一段落,大家如果有更好的解法可以课后继续探讨…….

三、教学启示

1.课堂应该要有生成的精彩

叶澜教授说过,课堂应是向未知方向挺进的旅程,随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景,而不是一切都必须遵循固定而没有激情的行程.布鲁姆说过,人们无法预料教学所产生的成果的全部范围,没有预料不到的成果,教学也就不成为一种艺术了.因此,面对学生的意外,我们应耐心聆听,睿智追问,开启学生的思维,让创造的火花灿烂地绽放,让教学中的节外生枝演绎出独特的价值.教师要善于抓住这样千金难买的教学意外,将课堂生成的资源巧妙灵活地整合到知识思维的链条中.也就是说,关注生成应该成为一种教学常规,高效课堂应有精彩的生成.

2.立体几何的教学要注重数学核心素养的培养

2014年,教育部出台的《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》首次提出了核心素养体系这个概念，并且将核心素养定义为适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力.高中数学课标修订组给出了数学抽象,逻辑推理，数学建模，直观想象,数学运算和数学分析六个数学核心素养.立体几何的教学可以很好地渗透数学核心素养.

立体几何是研究现实世界中物体的形状,大小和位置关系的数学学科.人们通常采用直观感知,操作确认,思辨论证,度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质.在空间几何体部分,强调通过大量的观察,认识柱,锥,台,球及其组合体的结构特征.提倡动手操作和分析正棱柱,正棱锥,正棱台侧面展开图形的内在联系,让学生感知其侧面展开图的关系,进一步领会数形结合思想,提高直观想象素养.

在立体几何定理教学中,八个定理是知识目标,应用八个定理证明一些空间位置关系的命题是技能目标.八个定理的教学思路紧密相连,均是以探究为核心,在探究的过程中让学生实践直观想象,操作确认,体会数学抽象,学会逻辑推理,渗透数学核心素养.