提高学生数学解题意识的有效策略

徐梅香

(江苏省滨海县明达中学 224000)

解题是数学学习不可或缺的环节，良好的解题意识，可以开拓解题思路，优化解题过程，提高解题的准确率.在高中数学解题学习中，同学们要注意培养和增强解题意识，提高解题能力，从而走出解题陷阱，攻克数学解题难关.

一、树立向量意识

向量，兼具代数的严谨和几何的直观“双重身份”，巧用向量解题，可以降低解题难度，提高解题速度，使解题思路清晰，简洁而直观.在高中数学解题学习中，同学们要树立向量意识，形成向量思想，巧用向量法，妙解数学问题，从而提升数学思维和解题能力.

图1

例1如图1，抛物线y2=4px(p>0)上有两点A、B，已知OA⊥OB,OM⊥AB,求点M的轨迹方程.

分析本题可以根据几何特征合理建系，通过向量法使几何问题坐标化和代数化，从而达到解题目的.

二、提高建模意识

建模是解决应用型问题的关键所在，常见的数学模型有函数、不等式、方程、等比与等差数列等模型.在高中数学解题学习中，同学们要注意掌握基本应用模型，明晰建模方法，熟悉文字语言、符号语言、图形语言、表格语言等各种语言的转化，有意识地培养自己的建模意识，增强分析和解决实际应用问题的能力.

图2

例2某个体运输专业户，购买一辆豪华大客车投入营运，据市场分析，这辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数n(n∈N*)为如图2的二次函数关系.这辆客车应运多少年，其营运的年平均利润最大？( )

A.3年 B.4年 C.5年 D.6年

分析通过审题，不难发现本题给出的数量关系并非代数式，而是函数图象，需要转化语言.抓住关键词“总利润y”、“营运年数n”,先求出函数图象解析式，即可使问题得以获解.

三、形成纠错意识

纠错意识，是指在解完题后，能够反思自己的解题过程，针对错解深入剖析，找出其原因，及时修正，查漏补缺，归纳总结，有效调整学习策略和方法，从源头上防止错误的蔓延.在高中数学解题中，由于种种原因，不可避免地会出现错误，这就要求同学们要具备纠错意识，让错题成为再度思考和自主探究的学习资源，从而促进良好学习习惯的形成.

例3已知A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},问是否存在实数a,使A∩B=B，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.

错解由题意可知，A={0，-4}，又A∩B=B，知B⊆A，所以B可能为∅，{0}，{-4}，{0，-4}.①当B=∅时，即Δ=4(a+1)2-4(a-1)2<0,解得a<-1.②当B={0}时，即x=0是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根，解得a=±1.③当B={-4}时，即x=-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根，解得a=1或a=7. ④当B={0，-4}时，即x=0和x=-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根，由此解得a=1.综上所述，实数a的取值范围是a≤-1或a=1或a=7.

剖析此题出错率较高，究其原因主要是对集合的概念理解不够深刻.集合B={0}实质上是这个集合中有且仅有一个元素0，它包含了两个层意思，一是x=0是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根；二是该方程只有一个根x=0.而上述解题忽略了第二层含义，事实上，通过验证，当a=1时，原方程x2+4x=0,其根是0和-4，这与集合B={0}的第二层含义中的只有一个根x=0明显不相符合.

正解由题意可知，A={0，-4}，又A∩B=B，知B⊆A，所以B可能为∅,{0}，{-4}，{0，-4}. .①当B=∅时，由Δ=4(a+1)2-4(a-1)2<0, 解得a<-1. ②当B={0}时，由方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有两个相等的实根x1=x2=0,解得a=-1. ③当B={-4}时，由方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根x1=x2=-4解得a∈∅. ④当B={0，-4}时，由方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根x1=0，x2=-4，可得a=1.综上所述，实数a的取值范围是a≤-1或a=1.

总之，在高中数学解题中，同学们要形成良好的解题意识，激活数学思维，巧用有效的解题方法，创造性地解决数学问题.