单色点光源经梅斯林透镜的干涉现象分析

冯才鑫 孟庆国 冯立峰 孟庆裕 孙文军

(哈尔滨师范大学物理与电子工程学院，黑龙江 哈尔滨 150025)

光的干涉现象是其波动性的重要表征，若干个满足相干条件的光波相遇时产生的光强分布不等于由各个光波单独存在的光强分布之和，而出现光强相长或相消的现象。梅斯林透镜可产生很多干涉现象[1-3]，但相关文献对梅斯林透镜产生的干涉现象总结得不够全面，理论分析也不够系统。本文将梅斯林透镜的干涉进行分类，从理论上详细地分析了产生干涉现象的基本原理，采用Matlab软件[4-7]模拟计算了干涉光强的分布，并提供可视化的干涉场条纹分布，为师生的后续学习与研究提供非常有价值的借鉴。

1 基础理论[8，9]

强度分别为I1和I2的两列光波在空间某点P相遇时，若两列光波不满足相干条件，则P点的强度由式(1)给出；若两列光波满足相干条件，则P点的强度由式(2)给出。

图1 点光源经梅斯林透镜的光路图

其中，I1(P)和I1(P)分别为两列光波在P点的强度；φ1(P)和φ2(P)分别为两列光波到达P点的相位；而δ(P)=φ1(P)-φ2(P)为两列光波在P点产生的相位差。令I1(P)=I2(P)=I0，则I(P)=2I0[1+cosδ(P)]，

当δ(P)=2nπ时，I(P)=4I0，P点为干涉极大，即亮点，

当δ(P)=(2n+1)π时，I(P)=0，P点为干涉极小，即暗点，

可见干涉会导致接收屏上强度的周期性分布，而非均匀强度。

2 梅斯林透镜干涉

为更好地分析点光源经梅斯林透镜的干涉，给出如图1所示的7种光路。图1中的S为单色点光源，S1和S2分别为S经L1和L2所成的像，M为经L1和L2的边缘光线的交点，建立如图1所示的坐标系，光轴方向沿z轴，接收屏位于xOy平面内(y轴垂直纸面向上)，图1(a)为薄凸透镜对切成相等的L1和L2，并沿其光轴方向彼此错开，轴上点光源S位于L1之左，△S1MS2为光线的交叠区域。图1(b)为薄凸透镜对切成相等的L1和L2，并沿其光轴方向彼此错开，轴上点光源S位于L2之左，△S1MS2为光线的交叠区域。图1(c)为两个口径相同，焦距不同的两薄凸透镜对切成相等的两半，然后将各自的一半透镜L1和L2对接在一起(L1的焦距大于L2的焦距)，两个薄透镜的光轴在同一直线上，△S1MS2为光线的交叠区域。图1(d)为两个口径相同，焦距不同的两薄透镜对切成相等的两半，然后将各自的一半透镜L1和L2对接在一起(L1的焦距小于L2的焦距)，两个薄透镜的光轴在同一直线上，△S1MS2为光线的交叠区域。图1(e)为薄凸透镜对切成相等的L1和L2，并沿其光轴方向彼此错开，轴上点光源S位于L2的前焦点上，△S1OM为光线的交叠区域。图1(f)为薄透镜沿其光轴方向上下对称切去一小部分， 然后对接在一起，单色点光源S不在L1和L2的焦平面上。图1(g)为薄透镜沿其光轴方向上下对称切去一小部分，然后对接在一起，单色点光源S位于L1和L2的焦平面上。

2.1 汇聚球面波与发散球面波之间干涉

图1中(a)、(b)、(c)、(d)的两个像点S1和S2在同一光轴上，产生的干涉均可看作为发散球面波与汇聚球面波之间的干涉。若S1在前，则发出的为发散球面波；若S1在后，则发出的为汇聚球面波。

另S1和S2距接收屏的距离分别为d1和d2，以图1(a)为例，S1发出的为汇聚球面波，S2发出的为发散球面波，则傍轴近似下接收屏上会聚球面波和发散球面波的复振幅分别为

两列光波在接收屏上各点的相位差为

式中，φ0=k(d2+d1)-(φ20-φ10)为两列光波在坐标原点O处的相位差；φ10和φ20分别为两列光波在像点S1和S2处的初相位；而对于确定的干涉装置，d1，d2均为确定值，即d1+d2为常量，则可令φ0=0。

干涉条纹的轨迹方程为

图2 干涉条纹分布-同心圆环

图1(a)与图1(c)两束光的交叠区域(△S1MS2)在x轴上方，形成的干涉条纹为以原点O为圆心的同心半圆环，如图2(a)所示；图1(b)与图1(d)中两束光的交叠区域(△S1MS2)在x轴下方，形成的干涉条纹为以原点O为圆心的同心半圆环，如图2(b)所示。

对于第n级明纹有：δ(x,y)=2nπ

看见条纹内疏外密。

2.2 平面波与发散球面波之间干涉

如图1(e)所示，单色点光源S经L1成像于S1，进而发出发散球面波，而S经L2变成平行于光轴的平面波，两束交叠区域为△S1OM，在z轴下方。傍轴近似下发散球面波与平面波的复振幅分别为

令φ0=0，则干涉条纹的轨迹方程为ρ2=x2+y2=常量

可见条纹是以坐标原点O为圆心的同心半圆环，如图2所示。

2.3 两发散球面波之间干涉

图1(f)中的两像点S1和S2不在同一光轴上，产生的干涉可看作为两发散球面波之间的干涉。此种干涉现象类似于杨氏双缝干涉实验[9]。令接收屏上任意一点P到光轴的距离为x，两像点之间的距离为d，两像点到接收屏的距离为D，若满足傍轴和远场条件(x2≪D2，d2≪D2)，

2.4 两平面波之间干涉

当单色点光源S位于L1和L2的焦平面时，如图1(g)所示，S发出的球面波经L1和L2后分别变成两束平面波，此时接收屏上的干涉场变成了两平面波的干涉。

如图1(g)所示，接收屏上P对应坐标为(x,y,0)，则有：

对于固定的干涉装置，θ为定值，这样光程差、相位差只与坐标x有关，可见干涉条纹为直线条纹。

因亮纹处对应ΔL=2xsinθ=nλ

可见接收屏上的干涉条纹为平行于y轴的等间距直线条纹，如图3所示。

综上所述，单色点光源经梅斯林透镜所产生的干涉可分为4类，形成的干涉条纹有两种：平行直线条纹和同心半圆环。

3 结语

论文理论上详细分析了单色点光源经梅斯林透镜产生的4类干涉(汇聚球面波与发散球面波之间的干涉、发散球面波与平面波的干涉、两发散球面波之间的干涉、两平面波之间的干涉)产生的干涉现象，并采用Matlab软件模拟了上述4类干涉形成的干涉场光强分布图，生动形象地展现了单色点光源经梅斯林透镜所产生的干涉现象，为相关师生的今后学习与研究提供了有价值的理论与技术借鉴。