对拓扑凝聚态物理学基础知识的教学思考

阳成熙 李 楠

(东北大学理学院物理系，辽宁 沈阳 110819)

凝聚态物理学是高等院校物理类专业高年级本科课程的重要组成部分，对学生进一步从事磁性物理学、超导物理学及纳米科学等方向的学习与研究都具有重要的意义。近年来，随着微分几何学与拓扑学在物理学中发挥越来越重要的作用，拓扑凝聚态物理学逐渐发展为一个具有深刻理论基础与广泛实验应用的领域。2016年Nobel物理学奖就被授予这一领域的3位物理学家Thouless、Haldane和Kosterlitz，以表彰他们在凝聚态物质的拓扑相与拓扑相变领域的理论研究[1]。因此，在物理类专业高年级本科课程中开展拓扑凝聚态物理学基础知识的教学，不但可以丰富传统固体物理学的课程内容，也对学生尽快了解凝聚态物理学的前沿与生长点具有深远的意义。

尽管拓扑凝聚态物理学在实验与理论上的发展日新月异，然而令人遗憾的是，当前本科物理类专业课程中并未给予这一前沿领域以足够的重视。首先，在大部分高校物理类专业的固体物理学教学中，仍然只讲授单电子能带理论的传统内容，着重从电子能带的色散关系εn(k)出发分析物质的电子性质，而并不涉及电子能带结构的拓扑性质。其次，在量子力学的教学中，反映电子波函数拓扑性质的Berry相位理论也较少被提及。进而，在热力学与统计物理学的教学中，关于物质的相与相变的知识也一般局限在Landau的连续相变与对称破缺理论，而很少从拓扑学的角度来考虑物质相的分类与相变。然而事实上，拓扑凝聚态物理学中的基本思想是完全可以给物理类专业高年级本科生讲授的。为此，我们面向三年级本科生，组织了拓扑凝聚态物理学基础知识的讨论班。我们希望借此开阔学生的科学视野、激发学生的求知热情、深化学生对课堂知识的理解，达到不同课程之间(量子力学、统计物理学、固体物理学等)的融会贯通，并最终为学生接触凝聚态物理学研究的前沿课题做好铺垫。本论文在教学实践的基础上，以拓扑凝聚态物理学中的典型问题——量子Hall效应为切入点，对拓扑凝聚态物理学基础知识的教学提出一些思考。

1 数学与物理学的预备知识

Hall效应是指在有电流通过的导体上加入外磁场后，导体边缘产生电势差的物理现象，其发现迄今已有百年以上的历史[2]。经典Hall效应可以由导体中的电子在外磁场中受Lorentz力而偏转得到合理的解释。然而，在低温与强磁场下，还会出现更加丰富多彩的量子Hall效应。1980年，von Klitzing 等人发现了整数量子Hall效应[3]，其本质则由Thouless等人在1982发表的论文[4]中给出了影响深远的解释，其中揭示了Hall电导的量子化与电子能带结构的拓扑性质之间的深刻联系。从此，拓扑学思想在凝聚态物理学中得到广泛应用，物质的拓扑相与拓扑相变已成为当前凝聚态物理学中的研究热点。进而，实验上又相继发现了分数量子Hall效应[5]、量子自旋Hall效应[6]、拓扑绝缘体[7]等物理现象，相应的实验与理论研究成果极大地推动了拓扑凝聚态物理学这一领域的发展。迄今，整数与分数量子Hall效应的实验发现与理论研究均已被授予Nobel物理学奖。

量子Hall效应的教学需要在传统固体物理学的基础上，进行一定的数学与物理学相关知识的扩充，主要体现在3个方面：微分几何学与拓扑学、量子力学、固体物理学，其中涉及的数学与物理学概念(如示性数、Berry相位等)在物理类专业本科教学中通常较少提及。为此，本文分3个方面依次对这些数学物理知识做必要的铺垫，理解这些内容可以极大地提升学生对数学与物理学的认知能力。

1.1 微分几何学与拓扑学

必要的数学基础是理解拓扑凝聚态物理学的前提，其核心内容是闭曲面的Gauss-Bonnet公式：

(1)

其中，等号左边的K为闭曲面上某点的Gauss曲率;dA为闭曲面的面积元，所以上式等号左边完全由闭曲面的局域几何性质决定；等号右边则是刻画闭曲面整体性质的2个拓扑不变量：闭曲面的亏格数g与Euler示性数χ，两者的关系为

χ=2-2g

(2)

因此，Gauss-Bonnet公式把闭曲面的局域微分性质与整体拓扑性质有机地联系在一起。进而，我们分别以亏格为0的球面S2与亏格为1的环面T2为例，引导学生计算验证了式(1)。下面，分别阐述教学中需要注意的问题。

首先，对于式(1)中等号左边，关键在于介绍Gauss曲率K。考虑到学生已经在狭义相对论中学习过张量运算，并在高等数学中接触过基础的微分几何学，因此，可以比较容易地引入曲面的第一基本形式，即曲面上两点间线元平方ds2的二次型表达式，

ds2=gμνduμduν

(3)

其中，uμ,uν(μ,ν=1,2)为曲面的坐标；gμν为曲面的度规。进而，再形象地引入曲面的第二基本形式，即曲面上某点邻域内的另一点对该点处切平面的偏离δ的二次型表达式，

2δ=ωμνduμduν

(4)

由此，说明利用曲面上某点处的两个基本形式之比就可以刻画曲面在这一点某个方向上的弯曲程度，即曲面的法曲率κn=2δ/ds2。很容易看出，法曲率在两个正交的方向上分别有最大值κ1与最小值κ2。在此基础上，即可给出曲面的Gauss曲率K：

(5)

这样下来，学生就会比较自然地接受这些概念。考虑到一些高水平的学生学习过广义相对论，我们还可以进一步讨论二维曲面的Gauss曲率与二维流形的Riemann曲率、Ricci曲率及Ricci标量的关系，从而更深刻地理解Gauss曲率的几何意义。

其次，对于式(1)中等号右边，亏格数g可以直观地理解为闭曲面上孔洞的数目(见图1)，Euler示性数χ则可定义为

χ≡F-E+V

(6)

其计算方法为在闭曲面上任意选定V个点，再画出E条彼此不相交的曲线段连接各点，并将闭曲面分为F个曲面片，由此即可计算闭曲面的Euler示性数χ(见图2)，且可证明χ与闭曲面的剖分方式无关。事实上，这正是高中数学中凸多面体的Euler公式对闭曲面情形的推广。这样的定义可以让学生容易接受、便于理解，同时还可以形象地解释拓扑不变量的几何意义。通常，拓扑学的数学抽象性并不切合物理类专业学生倾向于直觉的思维特点，因此说明拓扑不变量是闭流形在同胚映射下的不变量，这对于教学并不必要，只需简单说明闭曲面在连续形变后，其亏格数g与Euler示性数χ保持不变即可。进而，需要着重阐明的则是这两个量与闭曲面的局域性质无关，而是描述其整体性质的参量，这样可以为后面讲解电子能带结构的拓扑性质做好数学上的必要准备。

图2 Euler示性数图解

诚然，上述的数学准备工作需要花费一定时间与精力。虽然不具备这些数学知识也可以为学生讲授拓扑凝聚态物理学的基本思想，但我们认为对物理学的深入理解必然要建立在坚实的数学基础之上，为此值得花时间介绍这些微分几何学与拓扑学基础。我们确信物理学与几何学是相通的，恰如几何学大师陈省身所言“物理几何是一家，共同携手到天涯”。

1.2 量子力学

在必要的数学准备之后，我们转入物理学部分。量子Hall效应中所需的量子力学知识主要是Berry相位理论[8]。

γn≡i ∮〈n(λ)|∂α|n(λ)〉dλα

(7)

与一般的Schrödinger方程中波函数的动力学相位不同，Berry相位是一种几何相位。由此，可以进一步引入Berry联络：

An,α≡i〈n(λ)|∂α|n(λ)〉

(8)

那么，Berry相位就可以Berry联络线积分形式表述：

(9)

在参量空间中存在以闭合路径C为边界的曲面S，那么，由广义Stokes定理：

(10)

可以进一步引入Berry曲率：

Fn,α β≡∂αAn,β-∂βAn,α

(11)

作为上述一整套概念的应用，分别讨论了磁场中的定域电子与晶格周期场中的单电子这两个学生熟悉的模型，并通过具体的计算促进学生对以上概念的理解。

进而，结合电动力学中电磁势Aμ与电磁场张量Fμν≡∂μAν-∂νAμ的关系以及电磁势的规范变换，类比地帮助学生深化理解。很容易看出，Berry联络就相当于参量空间中的电磁势，而Berry曲率则相当于参量空间中的电磁场张量。同理，在参量空间中的相位规范变换下，Berry联络具有与电磁势一样的规范变换形式，而Berry曲率则与电磁场张量一样具有规范不变性。在三维参量空间中，Berry联络相应于三维坐标空间中的磁矢势，Berry曲率相应于磁感应强度。进一步由3维形式的Stokes公式不难看出，Berry相位正是参量空间中的磁通量，具有相位规范不变性，这表明Berry相位实际上是一种可观测的物理效应。推而广之，还可以进一步向学生介绍电磁势就是U(1)纤维丛上的联络，而电磁场则是其上的曲率，甚至还可以引申到引力场中的度规、联络与曲率的关系。

这样通过不同课程中的知识进行类比，不但可以加深学生对新老知识的理解，更可以使学生意识到不同领域之间的交叉是学术创新的重要源泉，从而培养学生综合运用物理知识去分析问题的能力。此外，我们还采取了固体物理学中构造具体模型去分析问题的思路，这样可以使学生对所学的理论有一个实际的印象，避免了只谈理论本身而带来的空洞感。

1.3 固体物理学

对于固体物理学基础，采取对讨论课所涉及的内容选择性地重点讲解。例如，整数量子Hall效应涉及到能带电子的平均速度，而学生在固体物理学课程中通常只了解能带电子在Bloch波包状态的群速度：

(12)

但是他们不理解这也正是电子处于Bloch本征态|ψn(k)〉时的平均速度。因此，我们特别在这一关键知识点上给出了完整的推导，以使学生深化理解。

又如，量子Hall效应中会反复涉及到周期性边界条件，然而从教学实践来看，学生对周期性边界条件的理解并不深刻。通常，学生很少意识到周期性边界条件需要建立在平移对称性这一前提上，以及周期性边界条件实际上包含了电子本征态在正空间中的周期性与在倒空间(即k空间)中的周期性的双重含义；更没有认识到倒空间中的周期性会使得第一Brillouin区拓扑等价于(实际上是拓扑紧致化)倒空间中的闭流形。因此，我们着重强调了以上几点，并以矩形第一Brillouin区为例，说明其在周期性边界条件下，Brillouin区相对的边界上电子本征态完全相等，故可将矩形Brillouin区相对的两对边界“粘合”起来，这样得到了一个环面，即在周期性边界条件下(见图3)二维Brillouin区拓扑等价于亏格为1的环面T2。

图3 环面与二维Brillouin区拓扑等价示意图

2 课程的主要内容与讨论

在介绍了相应的数学与物理学的预备知识之后，可以正式为学生讲授拓扑凝聚态物理学的主要思想与基础知识。我们将精力集中于整数量子Hall效应，这是因为：首先，它比较简单，不需要考虑电子之间相互作用，从而在单电子量子力学的范围内即可完全解释清楚，因此对本科生而言是可以接受的；其次，整数量子Hall效应已经具有相当丰富的物理内涵，足以说明拓扑凝聚态物理学的主要思想。由此，整个课程的框架依次是经典Hall效应、量子Hall效应的实验背景与结果、整数量子Hall效应的理论分析，以及分数量子Hall效应等相关内容的简介。

2.1 重要物理量的引入

从经典Hall效应出发，对于二维导体，引入Hall电导σxy这个重要的物理量，

(13)

其中，Ix为导体中的电流强度；Vy为Hall电压。进而，由导体中的电子在电磁场中运动的经典图像，可以得出Hall电导与磁感应强度之间呈现的连续变化关系，从而说明边缘电流的存在。尽管电子运动的经典图像并不符合量子力学，但却可以使学生对由量子理论分析而得到的边缘手性电流有一个初步的印象。

2.2 实验条件

介绍量子Hall效应的实验条件，以使学生对其有一个直观具体的物理概念。实验的关键条件在于低温T～1K与强磁场B～1T。低温可以使电子的热激发完全被忽略；而强磁场则可以使电子的自旋几乎完全极化，反平行于外磁场，从而使自旋对电子态没有影响。同时，Hall电导σxy在实验中所呈现的各种整数与分数量子数ν也足以激发学生的学习热情。

2.3 整数量子Hall效应的讲授

至此，就可以讲授作为课程重点的整数量子Hall效应了。当然，理解这个问题可以有多种角度，其中最基础的一种可以从磁场中二维电子气体的Landau能级出发，由此导出Hall电导的量子化。进而，引入由样品边界而导致的边缘势场，并由此说明在样品相对的两个边界处出现的方向相反的手性边缘电流，以及存在于二维体系边界处的手性费米子等拓扑凝聚态物理学中的重要基础概念。在此基础上，可以由二维能带结构导出一个在拓扑凝聚态物理学中非常美妙且重要的公式：

(14)

其中，n为能带指标；Fn,α β(k)为第n个能带相应的Berry曲率，BZ表示第一Brillouin区，周期性边界条件使其拓扑等价于亏格为1的环面T2，而这正是单电子有效哈氏量的参量空间。式(14)具有深刻的物理意义，它表明对于第n个能带，其Berry曲率在二维第一Brillouin区中的积分正好等于2π乘以一个整数Cn。这个整数Cn是第n个能带的拓扑不变量，称为Chern数。

Chern数Cn的物理意义可以如下理解：式(14)所体现的结果正是单电子本征态绕二维第一Brillouin区边界一周后(即一个绝热循环)所获得的Berry相位，由波函数的单值性，其相位的变化必然为2π的整数倍，这个整数就是Chern数。在此，需要特别强调Chern数是能带结构的拓扑不变量，原因在于虽然定义在二维第一Brillouin区上的电子波函数可以连续变化，但相应能带的Chern数保持不变。进而，还可以自然地将式(14)与式(1)中的Gauss-Bonnet公式进行类比，两者的数学形式极其相似，这进一步表明了Chern数作为能带结构的拓扑不变量的含义，它完全类似于闭曲面的Euler示性数。由此，可以让学生体会到数学与物理学的相通之处，使其产生触类旁通的美妙感受。

基于前述全部数学与物理学理论，利用线性响应理论的Kubo公式[9]，可以推导出整数量子Hall效应中最核心的Thouless-Kohmoto-Nightingale-Nijs(TKNN)公式[2]，

(15)

2.4 课程的结束

通过对量子Hall效应的学习，可以让学生欣赏到拓扑凝聚态物理学这一领域的精妙之处。同时，也可以让学生体会到理解物理学中的第一流工作，有时并不需要极其高深的数学与物理学知识，从而帮助他们树立探索高深课题的信心。当然，必须指出TKNN公式虽然简单，推导也并不十分容易，其中涉及的Kubo公式属于量子多体理论中线性响应理论的内容。这里，采用同前面介绍数学基础时一样的方案，直接给出Kubo公式的结果并说明其意义，同时给出参考文献以便学生课后自学拓展。

作为课程的结束，我们为学生科普性地介绍了拓扑凝聚态物理学的前沿内容，如分数量子Hall效应、Haldane模型[10]、铁磁体系中的拓扑现象[11]等内容，这其中有相当一部分仍然属于物理学中的未解之谜。例如，以分数量子Hall效应为切入点，介绍了当前凝聚态物理学中最具挑战性的课题之一：强关联电子体系。不同于整数量子Hall效应，分数量子Hall效应中电子之间的Coulomb相互作用必须予以考虑，这也正是其难于求解的肯綮所在。此外，另一个非常重要但同样悬而未决的强关联电子体系问题是高温超导。对所有这些内容进行简单介绍的目的都是为了让学生能够尽早地了解物理学中还有哪些问题需要探索，哪些领域可以有所作为，从而在他们心中播撒下一颗勇攀物理学高峰的种子。

3 总结与建议

本文以量子Hall效应为例，介绍了在物理类专业高年级本科生中开展拓扑凝聚态物理学基础知识的教学内容与实践。首先进行了必要的数学与物理学的知识准备，主要包括微分几何学与拓扑学、量子力学、固体物理学的拓展知识。在此基础上，介绍了经典与量子Hall效应的基本内容，并着重推导了整数量子Hall效应中Hall电导量子化的TKNN公式。根据教学实践，整个过程需要6～8个学时，准备知识与课程主体各半。因此，这些内容既可以设为物理系固体物理学教学的拓展部分，也可以设为凝聚态物理学的专题部分，还可以在此基础上做进一步的引申。

当然，拓扑凝聚态物理学的内容十分广泛，不可能在短暂的教学时间内面面俱到。为此，我们建议留出一些学生可以自己解决的问题，供其课后深入研究。例如，对椭球面的Gauss-Bonnet公式的验证，可以使学生很好地熟悉微分几何学中的相应计算。同样，在简介分数量子Hall效应的Laughlin波函数[12]的唯象理论时，我们从磁场中的二维平面内具有相互作用的二电子模型出发，希望通过这样的模型能够给出多电子相互作用体系的一个试探波函数。我们对这一思路进行了详细介绍，并指出其与量子力学中氢原子二体体系的相似之处，其中的关键在于引入相对坐标与质心坐标以分离变量。但我们并没有对此进行详细的计算，而是把这个问题留给了学生。因为这样的计算既切合课堂内容，又在难度上明显高于课堂内容，所以非常适合作为课后练习，学生通过处理这类问题可以得到很好的锻炼。

最后，对于拓扑凝聚态物理学这一正在蓬勃发展的领域，将课程中相关知识的原始论文发给学生课后学习，也是培养学生阅读能力并从论文中直接获取最新科学进展的重要方式。学生在日后开展独立研究时，研读第一手的原始论文必不可少，因此从最新资料中挖掘信息的能力必须尽早培养。