初中数学二次函数解题方法与技巧

周浩然

摘 要：当今世界科学技术快速发展，新的问题也不断出现，数学作为一门有效解决问题的工具学科，在多种领域发挥了它的优势和作用。同时，为了深入研究数学对象，初中数学的知识难度越来越大，这给我们学生带来了无形的压力。数学的确很难，但它也有很多的规律和技巧可循，根据自己的学习经验，笔者在文中探讨了初中数学二次函数的解题方法与技巧。

关键词：初中数学;二次函数;解题方法与技巧

二次函数是初中数学中的重要模块，其基本内容与近现代数学的发展有密切的联系，对学生学习高等数学知识也有很大的促进作用，因此，我们在学习过程中要对二次函数提起足够的重视，从而攻克这道难关，以下是我解决二次函数问题的一些技巧。

一、求解二次函数表达式的技巧

初中数学考察二次函数时经常会让学生求解二次函数y的表达式，首先，我们应该知道二次函数有哪些表示形式。常见的有一般式：y=ax^2+bx+c （a≠0），顶点式：y=a（x-h）^2+k （a≠0），其顶点为（h，k），对称轴为x=h和交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标。求解二次函数表达式的常用方法是待定系数法，我们应该根据题目给出的条件，设出恰当的表达式形式。当给出了抛物线上的任意三点时，我们可以设置一般式;当给出了抛物线的顶点或者最值或者对称轴时，我们设置顶点式;当给出了抛物线与x轴的两个交点坐标或已知对称轴与x轴的交点距离时，我们设置交点式。接着，根据所设的基本形式开始求解。最后，当我们求出表达式，要将已知点回代入表达式，从而验证其正确性。比如，这道问题：已知二次函数的图象经过点（0，-3），且顶点坐标为（1，-4），求它的解析式。题目已经明确给出了顶点坐标，因此设解析式为顶点式：y=a（x﹣1）^2-4，再将点（0，-3）代入，求出具体的待定系数a=1，所以解析式为y=（x﹣1）^2-4，化简得到y=x^2-2x-3。

二、求解二次函数图像与性质的技巧

二次函数的图像与性质也是一个常见的考点，其图象是一条抛物线，它的性质包括开口方向、对称轴、顶点、最值等，需要注意的二次函数的顶点不一定是它的最值，我们应该考虑到自变量x的取值范围，结合图像，看看题目给出的x范围能否包含顶点处的横坐标。对于二次函数y=ax^2+bx+c ，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线开口向上;当a<0时，抛物线开口向下，并且a的绝对值越大，图像的开口就越小;常数项c决定抛物线与y轴交点，二者交于（0，c）;图像的对称轴为x=-b/2a，顶点为（-b/2a，（4ac-b^2）/4a），当自变量x的取值范围为全体实数时，y在x=-b/2a处取得最大值或最小值（4ac-b^2）/4a。二次函数的顶点式和交点式经过适当的变形可以得到一般式，所以我们只要熟练掌握一般式的性质即可，当然如果知道了顶点式，就可以直接写出顶点，要根据实际情况处理问题。比如这道题，求函数y=x^2-2x+3的图象的顶点坐标。我们有两种两种解题思路：一，直接用二次函数顶点坐标公式求解。二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式从而得到答案。y=x^2-2x+3=（x-1）^2+2，所以顶点坐标为（1，2）。总之，对于求解二次函数性质的习题，我们要结合函数图像，充分理解并且掌握二次函数的基本性质，达到熟记于心的程度，这样才可以迅速准确地解决问题。

三、求解二次函数应用题的技巧

在二次函数的考察中也有很多应用题，题目通常以生活中常见的事例为背景，以此锻炼学生运用数学知识解决实际生活问题的能力，达到学以致用。在解决这些问题时，我们要注意，考虑x和y的实际含义，不能有违生活常识。例如这道题：某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，销售量与销售单价满足如下关系：单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200。问销售单价多少时，可以获利最大。通过分析，我们可以设每件商品降价x元，总利润为y。商品的售价就是（13.5-x），单个商品的利润是（13.5-x-2.5），此时商品的销量为（500+200x），根据总利润=单个商品利润*销售量，我们得到y=（13.5-x-2.5）*（500+200x）=-200x^2+1700x+5500，然后求出其顶点坐标为（4.25，9112.5），因此，当每件商品降价为4.25元，即售价为9.25元时，可取得最大利润9112.5元。纵观二次函数的应用题，大部分都是以函数最值为考点，只要我们设出合适的未知量，并正确找到数量关系，就可以妥善地解決问题。

二次函数的相关考题灵活多变，它有时会与图形、不等式、方程、绝对值等结合，让我们觉得无从下手，但是只要我们认真钻研，掌握一些相关的解题规律和解题技巧，就可以成功解决，并且在解题过程中锻炼我们的数学思想和数学思维。

参考文献：

[1]邹靓靓.基于初中数学二次函数中最值问题的思考[J].理科考试研究（2）：1-1.

[2]李哲文.论说初中数学解决二次函数问题的关键思路[J].数学学习与研究（15）：69-72.