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探究性学习一例

2019-10-21殷仕刚

学习周报·教与学 2019年16期
关键词:两圆画圆圆心

殷仕刚

习题:试画出一个圆与下面三个两两不等且外离的圆都相切。(注:本文所说的两圆都是大小不等且外离的圆。

两圆相切分内切与外切。要画的圆可能与这三个圆都外切或都内切或与其中的两个圆内切,而与第三个圆外切;或与其中的两个圆外切,而与第三个圆内切,这样的圆共有八个。这些学生都能考虑出来,但到具体画时,问题来了,怎样确定圆心、半径?学生用圆规去“比”“靠”吗?本文主要以如何画与三个已知的圆都外切及都内切的圆为例,引导学生探究性学习,供读者参考、指正。师:要确定一个圆,必须知道哪两要素?

生:圆心、半径。

师:在画圆相切的过程中,不停地改变圆心位置或半径去“比”“靠”行吗?

生:有的说行,有的说不行。

师:如果这样做可以的话,大家有没有一种不准确、没根据的感觉呢?

生若有所思,大家都点了点头。

师:看来这个问题比较困难,要画出的圆满足的条件有三个。我们是否可以减少条件从简单的着手,比如如何画与一个已知的圆外切,与两个已知的圆外切,进而与三个已知的圓外切呢?大家试试看。

画一个与已知的0o,外切的圆,学生很快画出,画法如下:过圆心O,任作一条射线上任取一点0为圆心以OA为半径画圆。显然这样的圆有无数多个。

师:与已知的0o外切的所有圆的圆心的轨迹是什么?生有的答一条射线,少部分答圆Oo的外部。

画与两个已知的圆外切的同时,有的同学画的两个已知圆是等圆,有的不是。但他们都想到作两圆连心线的中垂线,然后在中垂线上取一点作为圆心。前者能完成,后者无论怎样变半径都不能完成。

师:有的同学画出来了,但他们画的两个已知圆是等圆,谁来

说一下画圆过程?

生:作00,的中垂线,在中垂线上任取一点0,连接00(或002)交O0于A,以0为圆心,以OA为半径画圆,则这样的圆与Oq,002都外切。

师:能证明吗?这样的圆有多少个呢?这些圆的圆心构成的轨迹是什么呢?(这些问题学生们都能一作答)

师:在前面的问题中,如果已知的三个圆都是等圆,要画一个与它们都外切的圆,你能画了吗?

很快,就有几个同学有了下面的作法:

1.任作两条相等的线段AB、CD(其长应大于或等于r+r;+=KS)。

2.在AB上截取AE=7,在CD上截取CF=r。

3.以01为圆心EB为半径作弧,以02为圆心以FD为半径作弧两弧交于0。

4.以0为圆心,以AB为半径作圆,则这样的圆就与都内切。按照此法,大家多画几个,可以看出这样的圆的圆心的轨迹仍然是一条曲线。

那么与三个已知的圆都内切的圆的画法是什么呢?

生:先画与日0,00,都内切的圆的圆心的轨迹,再画与00,2,00,都内切的圆的圆心的轨迹,两条曲线的交点O就是要画的圆的圆心,半径是0与一圆心的连线及延长线与圆的交点到0的距离(如OA)

师:好!同学们,我们运用了化归、比较、联想,从特殊到一般等思想,进行了一节探究性习题课,望同学们以后遇到问题,多思考,举一反三。

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