探究性学习一例

殷仕刚

习题：试画出一个圆与下面三个两两不等且外离的圆都相切。（注：本文所说的两圆都是大小不等且外离的圆。

两圆相切分内切与外切。要画的圆可能与这三个圆都外切或都内切或与其中的两个圆内切，而与第三个圆外切;或与其中的两个圆外切，而与第三个圆内切，这样的圆共有八个。这些学生都能考虑出来，但到具体画时，问题来了，怎样确定圆心、半径？学生用圆规去“比”“靠”吗？本文主要以如何画与三个已知的圆都外切及都内切的圆为例，引导学生探究性学习，供读者参考、指正。师：要确定一个圆，必须知道哪两要素？

生：圆心、半径。

师：在画圆相切的过程中，不停地改变圆心位置或半径去“比”“靠”行吗？

生：有的说行，有的说不行。

师：如果这样做可以的话，大家有没有一种不准确、没根据的感觉呢？

生若有所思，大家都点了点头。

师：看来这个问题比较困难，要画出的圆满足的条件有三个。我们是否可以减少条件从简单的着手，比如如何画与一个已知的圆外切，与两个已知的圆外切，进而与三个已知的圓外切呢？大家试试看。

画一个与已知的0o，外切的圆，学生很快画出，画法如下：过圆心O，任作一条射线上任取一点0为圆心以OA为半径画圆。显然这样的圆有无数多个。

师：与已知的0o外切的所有圆的圆心的轨迹是什么？生有的答一条射线，少部分答圆Oo的外部。

画与两个已知的圆外切的同时，有的同学画的两个已知圆是等圆，有的不是。但他们都想到作两圆连心线的中垂线，然后在中垂线上取一点作为圆心。前者能完成，后者无论怎样变半径都不能完成。

师：有的同学画出来了，但他们画的两个已知圆是等圆，谁来

说一下画圆过程？

生：作00，的中垂线，在中垂线上任取一点0，连接00（或002）交O0于A，以0为圆心，以OA为半径画圆，则这样的圆与Oq，002都外切。

师：能证明吗？这样的圆有多少个呢？这些圆的圆心构成的轨迹是什么呢？（这些问题学生们都能一作答）

师：在前面的问题中，如果已知的三个圆都是等圆，要画一个与它们都外切的圆，你能画了吗？

很快，就有几个同学有了下面的作法：

1.任作两条相等的线段AB、CD（其长应大于或等于r+r;+=KS）。

2.在AB上截取AE=7，在CD上截取CF=r。

3.以01为圆心EB为半径作弧，以02为圆心以FD为半径作弧两弧交于0。

4.以0为圆心，以AB为半径作圆，则这样的圆就与都内切。按照此法，大家多画几个，可以看出这样的圆的圆心的轨迹仍然是一条曲线。

那么与三个已知的圆都内切的圆的画法是什么呢？

生：先画与日0，00，都内切的圆的圆心的轨迹，再画与00，2，00，都内切的圆的圆心的轨迹，两条曲线的交点O就是要画的圆的圆心，半径是0与一圆心的连线及延长线与圆的交点到0的距离（如OA）

师：好！同学们，我们运用了化归、比较、联想，从特殊到一般等思想，进行了一节探究性习题课，望同学们以后遇到问题，多思考，举一反三。