讲授通解通法，提高教学效率

陈贤

【摘要】在高中数学教学过程中，教师要尽可能地向学生讲授“通解通法”.让学生不仅学会一道题目，而是一类题目.对教学中，课堂上讲的每一道题目，都要给予认真全面地思考，才能真正做到“授业解惑”，真正实现高效教学，建设一个和谐、完美的课堂.

【关键词】通解通法;函数;不等式;单调性等

众所周知，在教学过程中，教师应该掌握并向学生讲授一定的解题技巧.但如何实现真正的高效教学，却值得我们一线教师更多思考.笔者认为需要向学生传授必要且合适的“通解通法”.现在的课外市场充斥着各类质量参差不齐的教学参考书，提供的某些问题的解决方法，貌似是“通解通法”，实则不然.作为一线教师，我们需要认真思考，仔细钻研，引导学生，并给出学生易于接受的，且能够举一反三的“通解通法”.以下笔者通过几个例题来和大家一起探讨.

例1定义在R上的函数y=f（x），满足当x>0时，f（x）>1，且对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）·f（y），求证：对任意的x∈R，都有f（x）>0.

分析本题是人教版必修一函数章节中常见的一类题型，以下提供两种方法供读者体会.

解法一对任意的x∈R，都有

f（x）=fx2+x2=fx2·fx2=f2x2≥0.

假设存在x0∈R，使f（x0）=0，

则对任意的x∈R，都有

f（x）=f（x-x0+x0）=f（x-x0）·f（x0）=0.

这与已知条件“当x>0时，f（x）>1”矛盾，所以假设不成立，

所以对任意的x∈R，都有f（x）=f2x2>0.

解法二在f（x+y）=f（x）·f（y）中，令y=0，有

f（x）=f（x）·f（0）.

∵x>0时，f（x）>1，∴f（0）=1.

设x<0，则-x>0，f（-x）>1，则

f（0）=f（x+（-x））=f（x）·f（-x），

∴f（x）=f（0）f（-x）=1f（-x）>0.

综上所述，对任意的x∈R，都有f（x）>0.

评注解法一先求证f（x）=f2x2≥0，再利用反证法排除了f（x）=0的可能性，看似巧妙，实则对学生来说不易想到.相比较，解法二更为通用，利用已知x>0时，f（x）>1，再求证x=0，x>0时，f（x）>0也满足，也符合我们在类似题目中常和学生提到的“求什么，设什么”的解题思路.

例2已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边的边长分别是a，b，c，且a，b，c成等差数列，求∠B的取值范围.

分析本题是高三复习课比较常见的一道题目，它考查了等差数列、三角函数、解不等式等核心知识点，是一道区分度很高的题目.一般的解法是：

因为a，b，c成等差数列，所以b=a+c2，

所以cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-a+c222ac

=34a2+c22ac-14，

根据基本不等式，a2+c2≥2ac，所以cosB≥34-14=12，又∠B∈（0，π），且函数y=cosx在x∈（0，π）上是减函数，所以∠B∈0，π3.

评注上述解法很巧妙地利用了基本不等式.很多人认为这就是解决本类题目的“通解通法”，殊不知此法并不严谨.原因在于此法只考虑了cosB的下限，上限没有确定.也就是说，根据题目的已知条件，cosB的上限是否一定是1呢？当然，我们可以从cosB=34a2+c22ac-14出发，cosB=34a2+c22ac-14=38ac+ca-14，如果根据已知条件，得出ac的取值范围，再利用函数的单调性，cosB的范围就确定了，问题就迎刃而解了.

解析b=a+c2，不妨设a≤b≤c.

因为a，b，c是△ABC的三边长，所以a+b>c，

故a+a+c2>c，整理得13

cosB=34×a2+c22ac-14=38×ac+ca-14.

令t=ac，則t∈13，1，

所以，y=cosB=38×t+1t-14，

当t∈13，1时，y′=38×1-1t2=38×t2-1t2≤0，

所以y=38t+1t-14在t∈13，1上是减函数，

所以cosB∈12，1，所以∠B∈0，π3.

评注通过推导，我们发现，cosB的上限确实是1.有些人会认为，这样的考虑根本没有必要.实际上，我们看了以下的变式，就知道，如此考虑是非常有必要的.

变式1已知在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边边长分别是a，b，c，且a，b，c成等差数列，求∠B的取值范围.

分析本变式与上题不同的地方是多了“锐角”两个字.要保证△ABC是锐角三角形，只需要△ABC的三个角都是锐角，也就是三个角中最大的角是锐角即可.虽然还是考虑利用余弦定理求出cosB的范围，但是不能单纯地依赖基本不等式了.

解析因为a，b，c成等差数列，所以b=a+c2，不妨设a≤b≤c.因为a，b，c是锐角三角形ABC的三边长，所以，a+b>c，1>cosC>0. 而cosC=a2+b2-c22ab，

所以a+a+c2>c，a2+b2-c2>0，a2+b2-c2<2ab， 整理得ac>35，

又a≤c，所以1≥ac>35，

cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-a+c222ac

=34a2+c22ac-14=38ac+ca-14，

令t=ac，则t∈35，1，

所以y=cosB=38t+1t-14，

当t∈35，1时，y′=38×1-1t2=38×t2-1t2≤0，

所以y=38t+1t-14在t∈35，1上是减函数，

所以cosB∈12，35，所以，∠B∈arccos35，π3.

评注本题如果不考虑cosB的上限，直接用基本不等式，那么本题就会出错.也就是说，原来利用基本不等式的方法对变式1已经不适合了.利用函数单调性的解法才是真正的“通解通法”.

变式2已知在钝角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边的边长分别是a，b，c，且a，b，c成等差数列，求∠B的取值范围.

答案∠B∈0，arccos35.过程留给读者.

变式3已知在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边的边长分别是a，b，c，且a，b，c成等比数列，求∠B的取值范围.

解析因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，不妨设a≤b≤c.因为a，b，c是锐角三角形ABC的三边长，

所以a+b>c，1>cosC>0. 而cosC=a2+b2-c22ab，

所以a+ac>c，a2+b2-c2>0，a2+b2-c2<2ab， 整理得ac>5-12，

又a≤c，所以1≥ac>5-12，

cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac=12a2+c2ac-12=12ac+ca-12，

令t=ac，则t∈5-12，1，

所以y=cosB=12t+1t-12，

当t∈35，1时，y′=12×1-1t2=12×t2-1t2≤0，

所以y=38t+1t-14在t∈5-12，1上是减函数，所以cosB∈12，5-12，所以∠B∈arccos5-12，π3.

例3设f（x）=1+ax1-ax（a>0且a≠1），当0

分析本题是2010年高考理科四川卷22题第（3）问.它考查了函数、不等式等基础知识，是一道区分度很高的题目.参考书或者网络上给出的解法是：

设a=11+p，则p≥1，1

当n=1时，|f（1）-1|=2p≤2<4，

当n≥2时，

设k≥2k∈N*时，则f（k）=（1+p）k+1（1+p）k-1=1+2（1+p）k-1=1+2C1kp+C2kp2+…+Ckkpk，

所以1

从而n-1<∑nk=2f（k）≤n-1+42-4n+1=n+1-4n+1

所以n<∑nk=1f（k）

综上所述，总有∑nk=1f（k）-n<4.

评注这种构造a=11+p，然后利用二项式定理展开，从而放缩的证明方法很巧妙.这种技巧性非常强的证法很难想到，当然不是通解通法.其实，我们可以如此思考这道问题，从而给出适合本题的、更为通用的解法：

f（k）=1+ak1-ak=1+2ak1-ak，k∈N*

0

|f（1）-1|=2a1-a=21a-1≤2112-1=2<4，

当n=2时，|f（1）+f（2）-2|=2a1-a+2a21-a2=21a-1+21a2-1≤2112-1+21122-1=83<4，

于是，我们会猜测∑nk=1f（k）-n<4，接下来需要证明∑nk=1f（k）-n最大值小于4，或者∑nk=1f（k）-n上限小于或等于4即可.

事实上，∑nk=1f（k）-n=∑nk=12ak1-ak，而g（a）=2ak1-ak在a∈0，12上是增函数，故g（a）∈0，22k-1，从而∑nk=1f（k）-n=∑nk=12ak1-ak=∑nk=12ak1-ak≤∑nk=122k-1，关于∑nk=122k-1<4，在高三复习中，很多考生都会遇到并训练过，这个不等式明显是成立的.它的证明方法有很多种，有兴趣的读者可以自己去钻研.这里只选比较常见的一种方法.于是有以下解法：

解析∑nk=122k-1=2∑nk=112k-1

=2∑nk=12k+1-1（2k-1）（2k+1-1）<2∑nk=12k+1（2k-1）（2k+1-1）

<4∑nk=112k-1-12k+1-1

=4×1-122-1+122-1-123-1+…+12n-1-12n+1-1

=4×（1-12n+1-1）<4，

g（a）=2ak1-ak在a∈0，12上是增函数，

故g（a）∈0，22k-1，

从而∑nk=1f（k）-n=∑nk=12ak1-ak=∑nk=12ak1-ak≤∑nk=122k-1<4.

评注如此的分析和解答，才是本题的常规解答方法，才是适合本题的“通解通法”.

总结在平时教学过程中，教师要尽可能地向学生讲授“通解通法”.让学生不仅仅学会一道题目，而是一类题目.教师不能过分依赖教学参考书，千万不能人云亦云.教学参考书上给出的方法有些时候貌似是“通解通法”，实际上可能是有缺陷的.对例2而言，利用基本不等式的解法看似是“通解通法”，实际上是不完善的.文中给出的方法，利用的函数单调性，从而精准地确定cosB的取值范围，进而确定∠B的取值范围，这才是本类题目的“通解通法”.对例3来说，参考书或者网络上给出的解法具有太强的技巧性，而本文提供的思路和方法是学生易于接受的，也是考生能够“想得到，做得出”的.诚然，我们也需明白，没有适合所有题型的通解通法，因为题目条件千變万化，但我们对教学中、课堂上讲的每一道题目，只有给予认真全面地思考，才能真正做到“授业解惑”，才能实现真正的高效教学.建设一个和谐，完美，高效的课堂，不正是每一名优秀教师所期待的嘛！

【参考文献】

[1]丁聪颖.一道函数高考题的别解、巧解与通解[J].福建中学数学，2013（2）：45-47.

[2]李建潮.函数问题的通法通解[J].中学生数学：高中版，2014（7）：26.

[3]孙娜.高中数学教学中“通解通法”能力的培养[J].高中数理化，2016（2）：5.