利用切线法解不等式问题

张俊畅 杨柳忠

【摘要】本文介绍了利用切线法解不等式问题的各种类型和相应的求解方法，包括一些特定情况下的使用.

【关键词】切线法;解不等式

在处理某些函数不等式的问题时，常常通过函数在某点处的切线来近似代替曲线，利用切线将曲线放缩成直线解决，这种办法易学好懂，操作方便，本文就切线法在解不等式问题方面做些研究.

一、切线法的适用类型

引例已知a，b，c≥0，a+b+c=1，记T=4a+1+4b+1+4c+1，求证：T≤21.

分析我们试图通过放缩将根号去掉，并且化为一次式，观察式子的特点，由对称性可知，我们只要找到适当的常数p，q满足4a+1≤pa+q即可达到目的.考查T=4a+1+4b+1+4c+1的特点，结合T≤21，发现当a=b=c=13时取等号，从而不等式4a+1≤pa+q取等号，设f（a）=4a+1，g（a）=pa+q，因此，有f13=g13.另一方面，注意到g（a）=pa+q是直线函数，要使不等式成立，必使f（a）的图像要在该直线的下方，这样一来g（a）应该是f（a）在a=13处的切线.

解记f（a）=4a+1，则f（a）在a=13的切线g（a）=237a-13+73.

因为237a-13+732-（4a+1）2=421（3a-1）2≥0，所以4a+1≤237a-13+73.

同理对b，c也有类似的式子成立，三式相加得T≤237（a+b+c-1）+373=21，当a=b=c=13时取等号.

从上例不难归纳出“切线法解不等式问题”的求解模型与求解办法：

（1）求解模型：对x1，x2，…，xn∈D，x1+x2+…+xn=k，D为给定区间，k为常数，求证：f（x1）+f（x2）+…+f（xn）≤（或≥）C.

（2）求解办法：观察发现，这个条件不等式，满足两个条件：① 当x1=x2=…=xn=kn时，特征不等式取等号;② 函数f（x）在x=kn处的切线函数g（x）=px+q满足：f（x）≤（或≥）g（x）在区间D内恒成立.在这两个条件满足的情况下，可以使用切线法.解决步骤可以概括为：① 求函数f（x）在x=kn处的切线函数g（x）=px+q;② 证明f（x）≤（或≥）px+q;③ 类似得到其他不等式，并用不等式的同项可加性合并;④ 对x1+x2+…+xn=k进行代换，问题得证.需要说一下，切线法属于试探性的方法，并非通用的完备方法，因此，在解题前要大概想想函数图像，便于快速判断函数图像是否在切线的同侧，如果不是，则需要考虑其他方法了.

二、几种可以使用切线法的特殊情况

（一）对特征不等式进行构造转化

有些不等式直接看上去并不满足求解模型的条件，但对不等式做些等价变形后能够满足条件.

例1已知a，b，c≥0，a+b+c=3，求证：a+b+c≥ab+bc+ac.

证明a+b+c≥ab+bc+ac

a+b+c≥（a+b+c）2-a2-b2-c22.

从而只需证明：a2+2a+b2+2b+c2+2c≥9.

令f（x）=x2+2x，则f（x）在x=1处的切线为y=3x.

由基本不等式知：x2+x+x3≥3x2·x·x，

即x2+2x≥3x（当x=1时取等号）.

从而有a2+2a≥3a，b2+2b≥3b，c2+2c≥3c，

三式相加得：

a2+2a+b2+2b+c2+2c≥3（a+b+c）=9，

当a=b=c=1时取等号，故原不等式成立.

（二）推广到割线

切线法中提到，当x1=x2=…=xn=kn时，特征不等式取等号时才可以继续构造切线去放缩，然而有些时候虽然特征不等式完全对称，但取等条件却不一定在各元相等时取得，此时尝试把切线推广到过兩定点的割线，类似于切线法，我们仍然能够把这类问题解决.

例2已知a，b，c≥0，a+b+c=1，记T=4a+1+4b+1+4c+1，求证：T≥5+2.

分析不难发现取等号的条件是a，b，c中两个为0另一个为1，切线法失效，我们延续切线法的思想，仍然希望将各项放缩成直线函数g（x）=px+q，从而要满足4x+1≥px+q，而且当x=0或1时取等号，因此，设f（x）=4x+1（0≤x≤1），则g（x）=px+q是过两点（0，f（0）），（1，f（1））的直线y=（5-1）x+1.假如在由条件所限的区间内的图像在该直线的上方，问题就有望得到解决，事实上想想图像就知道这是显然成立的.

证明设f（x）=4x+1（0≤x≤1），则过两点（0，f（0）），（1，f（1））的直线为y=（5-1）x+1.

先证明4x+1≥（5-1）x+1在x∈[0，1]上恒成立.

由[4x+1]2-[（5-1）x+1]2=2（3-5）x（1-x）≥0可知4x+1≥（5-1）x+1成立，从而4a+1≥（5-1）a+1，4b+1≥（5-1）b+1，4c+1≥（5-1）c+1.

三式相加，得：4a+1+4b+1+4c+1≥（5-1）（a+b+c）+3=5+2.

当a，b，c两个为0，另一个为1时取等号.

（三）局部使用切线法

有些时候虽然在整体上不能够使用切线法，但在局部上使用切线法却也能很好地解决问题.

例3已知a，b，c∈R+且a+b+b=1求证：b1+a+c1+b+a1+c≥34.

分析注意到此题的每一项都是二元函数，不符合切线法的求解模型，但如果将b1+a看作b·11+a而仅对11+a使用切线法，我们发现其函数是递减且下凸的，所以其图像在斜率为负的切线的上方，这样放缩后将会出现一次项及负系数的ab项，而后者经三次求和后显然可以由基本不等式再放缩到，（a+b+c）2，问题求解毫无悬念.

证明令f（x）=11+x（0

（四）模式之外，以直代曲

一些不等式不具有对称性，也不满足模式的条件，利用切线法直接把曲线放缩成直线也可以很快捷地解决问题.

例4已知x∈（0，1），证明：（e2-e2lnx+x）2ln2x+2lnx+2>e25.

证明原不等式等价于[elnx-1-e（lnx-1）]2>15（ln2x+2lnx+2）.

令t=lnx-1（t<0），则不等式等價于（et-et）2>15t2+45t+1，函数y=et-et在t=0处的切线为y=（1-e）t+1，易证et-et>（1-e）t+1，t<0.

因此，（et-et）2>[（1-e）t+1]2=（e-1）2t2-2（e-1）t+1，而当t<0时，（e-1）2t2>15t2，-2（e-1）t>45t.

因此，有（et-et）2>15t2+45t+1，从而原不等式成立.

由上可知，用切线法解决上面各种不等式的问题，简练快捷，思路新颖，并且操作性也很强，在恰当的时候，有针对性的讲授一下，也可拓宽他们的解题视野，从而挑战更多不可能，作为教师，从提高解题方法的多样性也非常值得进一步去研究和探索.