HPM视角下等差数列前n项和的教学设计

吴首飞 钟芳 魏佳

《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“数学是人类文化的重要组成部分.数学课程应适当反应数学的历史、应用和发展趋势……帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观.”[1]由此可见，数学史融入高中数学教学是数学课程改革的需要，也是培养学生数学文化素养的重要途径.

然而由于高考的压力以及一线教师对数学史知识缺乏足够的了解，数学史鲜少出现在数学课堂.在众多关于“等差数列前n项和”的教学设计中应用较多的是高斯巧算故事，但其中所蕴含的思想方法却很少被学生真正领悟，以至于一段时间过后，学生对等差数列前n项和的公式模糊不清，甚至不知如何利用倒序相加法进行公式的推导.针对这些问题，笔者从HPM的角度，结合日常教学经验对等差数列前n项和这一内容进行教学设计，以期取得更好的教学效果并渗透相关的思想方法.

一、教学设计意图

数列是一个古老的话题，考查数列的历史，可以发现等差数列是数学史上最早出现，并引起人们兴趣的数列之一.在苏格兰埃及学家莱茵德于1858年购自埃及，时间属于约公元前1650年的草纸上就载有等差数列问题.无独有偶，在中国的古代文物或文献中，相关内容也是十分丰富，如《周髀算经》《九章算术》《张丘建算经》等等.[2]其中蕴含着大量的数学史知识和历史名题，因此，HPM视角下的教学设计可从这类问题入手.

（一）教材分析

数列在整个高中阶段占有重要地位，也是高考常考知识点之一.本节课是等差数列前n项和的第一课时，是学生在学习等差数列的概念和性质后，对等差数列知识的进一步学习.

（二）学情分析

在学习本节课之前，高一学生已经掌握了函数、数列等知识，有了一定的数学基础.但数列这一章涉及较多的思想方法，本节课学生的学习困难主要是倒序相加法求和的理解.

（三）教学任务

本节课的核心任务是从数学史的角度来创设不同的问题情境，引导学生理解倒序相加法，尤其是倒序求和思想方法的引导与启发，并掌握求和公式及其推导过程.

教学目标：（1）掌握等差数列前n项和公式及公式的推导过程，会应用等差数列求和公式去解决一些简单的实际问题.（2）经历等差数列求和公式的发现、探究过程，体会倒序求和、数形结合、函数与方程、归纳类比等思想方法.（3）通过历史名题，体会古人的思想智慧，再一次感受到数学来源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并用数学知识解决问题.

教学重点：等差数列前n项和公式的掌握.

教学难点：等差数列前n项和公式的推导及其简单应用.

二、教学过程设计

（一）课题引入

通过小学学习加法时经常会碰到的一个问题：“求1+2+3+…+100的和”，引出高斯巧算故事，明确本节课的学习内容.（结合多媒体课件向学生展示高斯算法）故事抛出的同时，尽可能多地引导学生体会故事背后的思想方法.当然，如果学生对高斯较为好奇，也可适当地介绍高斯的生平轶事.这样不仅能激发学生对新授课的兴趣，也向学生渗透了数学文化，更重要的是，在数学史故事中让学生对倒序相加法有初步的感知.

（二）探究新知

探究1在公元5世纪的《张丘建算经》中有这样一个问题：今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫.问织几何？（通过学生读题，将其转化为等差数列求和的数学问题）

原书的解法是：“并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得.”（引导学生思考书中这一解法背后的思想方法）

分析：假设另有一女善织，日益功疾，初日织一尺，末日织五尺，三十日织讫.则两女织布数无异.

根据原书中假设的两个情境，引导学生得出：

S30=a1+a2+a3+…+a28+a29+a30.

S30=a30+a29+a28+…+a3+a2+a1.

從而得到：S30=（a30+a1）2×30=（5+1）2×30.

设计意图：揭示原书中所给出解法背后的思想方法.在此过程中一方面，能让学生体会到古代数学家的智慧，另一方面，通过题中假设的两个情境，能让学生更加真实地体会倒序相加法求和的思想.

探究2如图所示，建筑工地上有一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2，3，…，10.问共有多少根圆木？如何用简便的方法来计算？（结合多媒体课件进行动态演示）

设计意图：通过图形进一步直观地说明倒序相加法，从数与形的角度启发学生对这一思想方法的理解与掌握.

探究3等差数列{an}的首项为a1，公差为d，如何求等差数列前n项和？（鼓励学生先独立思考，然后在黑板上与学生一起完成公式的推导）

设计意图：通过前面两个探究活动，学生已经理解了倒序求和的思想方法.放手让学生通过独立思考，自己尝试推导等差数列前n项和的公式，培养了学生观察分析、独立思考的能力.同时由特殊到一般，也培养了学生的抽象概括能力，符合学生的认知发展规律.

接着再通过课前准备好的数学史小阅读，引发学生数学思考，体会数学文化的博大精深.

阅读材料

数列的历史源远流长，在中国古代文献中，记载了许多有趣的数列问题.出土的春秋至战国时代楚国的铜环权，其重量大致都按等差或等比数列配置.等差数列求和问题最早见于约成书于公元前1世纪的《九章算术》，其中的衰分章、均输章、盈不足章中就有许多关于等差数列的问题.值得我们骄傲的是，刘徽在《九章算术注》中创造了等差数列的求和公式和两个通项公式.这一创举比其他国家至少领先300年，可以说刘徽在中国数学史上的贡献是空前巨大的！此外《孙子算经》《前汉书》《旧唐书》《张丘建算经》中也记载了很多有趣的数列问题，在公元5世纪的《张丘建算经》中通过了5个例子给出了求公差、总和、项数的一般步骤.[2]

探究4等差数列前n项和公式的几何解释

引导学生通过探究2可用图形来解释倒序相加法，思考并理解等差数列前n项和公式的几何解释，加深对求和公式的理解与记忆.

梯形的面积=（a1+an）·n2

梯形的面积=n（n-1）2d

设计意图：结合梯形的面积公式，引导学生进行类比记忆，加深对公式的理解.

设计意图：通过填表理解等差数列前n项和公式及通项公式中涉及5个基本量，利用已知量求未知量，这一环节的思想主要为方程思想和转化思想.通过填表让学生牢固掌握等差数列的相关公式的同时也学习相应的数学思想方法.

（三）新知应用

例1在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含着许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成（如图所示），最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈.请问：

（1）第9圈共有多少块石板？

（2）前9圈一共有多少块石板？

例2在新城大道一侧A处，运来20棵新树苗.一名工人从A处起沿大道一侧路边每隔10 m栽一棵树苗，这名工人每次只能运一颗.要栽完这20棵树苗，并返回A处，植树工人共走了多少路程？

设计意图：这两道题目均选自北师大版教材的例题，主要是培养学生运用新知解决实际问题的能力.其中例1是以北京天坛圆丘为背景，在数学课堂中渗透了数学文化及中国传统文化.例2主要让学生体会到数学与生活的密切联系，拉近了数学问题与实际生活的距离.

三、总结与反思

（一）公式教学重在揭示其本質

本节课是“等差数列前n项和公式”第一课时的教学设计，重点在于揭示求和公式背后的思想方法——倒序相加法.其教学设计是从HPM的角度来进行设计的，从情境到问题，从数到形，从具体到抽象，从特殊到一般，并在各个环节融入了不同的数学史知识.它不仅能帮助学生更好地理解数学，还能使学生在体会数学文化的同时理解倒序求和的思想方法.

（二）数学文化的渗透是润物细无声的

数学文化的渗透不是对数学史知识进行全盘照搬，也不是简单地讲几个数学家的故事，而是对历史的传承与创新.虽然有些一线教师在课堂上会融入数学史，但只是匆匆带过，对学生的数学文化素养几乎起不到实质性的帮助.数学文化的渗透应该是润物细无声，不是轻描淡写，更不是哗众取宠.

因此，有必要进一步开发HPM视角下的教学设计，为一线教学提供新的思路，让数学史融入课堂变为可能.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]汪晓勤、韩祥临.中学数学中的数学史[M].北京：科学出版社，2002：86-90.

[3]人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书·必修5[M].北京：北京师范大学出版社，2014：15-19.

[4]王俊辉.基于数学史的等差数列前n项和教学设计[J].数学教学，2008（2）：43-45.

[5]丁益民.备课应重视教学设计的研究——以“等差数列前n项和（第1课时）”为例[J].中学数学教学参考，2015（10）：23-25.

[6]李孝诚，綦春霞.从“为创新而设计教学”到“为教学而设计创新”——“对等差数列前n项和”教学设计的反思与改进[J].数学教育学报，2012（2）：94-98.