老师，我为什么算得这么慢——集合篇

江苏省苏州中学 王思俭

考试结束，几位同学围在一起，七嘴八舌讨论：

我对于含有字母的运算，几乎都是空手而归；

我的运算速度一直很慢，肯定是我的运算方法不当；

涉及复杂的运算，我往往无从下手，犹如在十字路口不知选择哪条路；我平时也刷了不少题目，但一遇到陌生题就不知所措，心里紧张，运算特别慢；

老师在课堂上讲的方法和运算步骤，我都能看得懂，但一轮到自己上场就不敢运算，唯恐出错，导致运算的速度特别慢；

……

为此，我邀请几位同学就“高考中集合的运算问题”进行专题交流，探索并积累“高考中集合问题运算策略”，旨在提高学生的运算能力、分析问题和解决问题的能力，学会创造性地解决情景新颖的问题，提升自己的数学素养.

我的解法就是联立两个方程，用求根公式.

即

在区间［0，3］有解.

首先，判别式Δ＝（m＋1）2-4≥0，解之得m ≤-3或m ≥1.此时方程（*）的解为要使A∩B≠Ø，则x1，x2至少有一个在［0，3］内，即等价转化为两个不等式组

这两个不等式组求解太繁琐了，我放弃了.

生乙：需要两边同时平方转化为新的一元二次不等式组，解①得解②得所以m ≤-3.故m 的取值范围为（-∞，-3］.

教师：答案是正确的，这是从方程的观点出发，转化为解无理不等式组，但太繁了，运算量超大的.在平方的时候，你们一定需要分类讨论，如m＋1和m＋7的正负零的讨论.还有其他方法吗？

生丙：我是利用二次函数图象分析法，分方程（*）在［0，3］内有一解、两解.若在［0，3］内有一解时，设f（x）＝x2＋（m＋1）x＋1，Δ＝0或者f（0）f（3）＜0，得或m＝-3或m＝1（舍），但f（3）＝0，即合适.

若在［0，3］内有两解时，其充要条件为Δ＞0且f（3）＞0且f（0）＞0且对称轴满足解之得综上所述，m 的取值范围为m ≤-3.

教师：很好！运用函数的观点，充分利用二次函数图象的直观想象，这就是数学运算的策略的选择比较恰当，因此，运算就简洁许多.还有什么策略？

生丁：接生甲的解法，直接分类讨论x1，x2的符号，

（1）当m≥1时，x1＋x2＝-（m＋1）＜0，且x1x2＝1＞0，因此x1＜0且x2＜0，这与方程在［0，3］内有解矛盾，所以m ≥1不合适.

（2）m ≤-3时，x1＋x2＝-（m＋1）＞0，且x1x2＝1＞0，因此x1，x2均为正数，且互为倒数，所以必有一个在区间（0，1］，故m≤-3符合题意.所以m 的取值范围为m≤-3.

教师：很好！他是利用设而不求的策略，这是求解数学问题常用的策略，这就要求你们要学会思考，具体问题具体分析，根据结构特征拟定相应的解题策略.还有不同的策略吗？

生戊：分离变量法求解，首先x＝0不是方程（*）的解，因此只考虑0＜x ≤3，于是利用基本不等式法，得当且仅当x＝1时等号成立，所以，函数的值域为（-∞，-3］，故m 的取值范围为m ≤-3.

教师：漂亮！美哉！简洁明了，答案正确！还有什么解法？

生甲：导数法，作与直线l：y＝3-x平行且与抛物线y＝x2＋mx＋4相切的直线，设切点（x0，y0），由切线的斜率为-1，得2x0＋m＝-1，因此.要使A∩B≠Ø，必有y0≤3-x0，即x20＋mx0＋4≤3-x0，将x0代入化简，得m2＋2m-3≥0，解之得m ≤-3，或m ≥1.但这样做下来，多了一解，不知道如何舍去？

教师：请你思考一下，如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，那么抛物线与线段的交点还会在［0，3］上吗？

生甲：结合抛物线图象分析，其对称轴必在y轴右侧，即m ＜0，所以m ≥1应该舍去.故m ≤-3.

教师：在选择运算策略时，一定要结合图形的几何直观，确定具体的策略.本题给出5种不同的解法，由于选择运算的方法不同，因此运算的简繁程度各不相同，解法四较简单且为通法.方法一是最基本的解法，但运算较繁琐，需要具有很好的毅力；方法二是常用的二次函数图象分析法，属于通法，也是需要分类讨论，运算量也是很大的，而且容易漏解；解法三是通性通法，但只适用于容易舍去一部分的类型；解法四将问题转化为函数值域求解，适用于容易分离参变量的类型；解法五是利用导数求解，只适用于可以求导的问题.因此，在进行数学运算时，要根据题目的结构特征选用恰当合理的解法，要迅速简洁地求出正确结果.

生丙：因为A∩B≠Ø，因此方程组在x∈［0，3］内有解，即等价转化为方程x3＋（m＋1）x＋2＝0在x∈［0，3］有解.因为x＝0不是解，所以利用分离变量法，得于是转化为函数在x ∈（0，3］上的值域.利用导数法求解，讨论，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当1＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）单调递减.所以，当x＝1时，函数f（x）有极大值也是最大值，因此（f（x））max＝f（1）＝-4，又当时，f（x）→-∞，所以m ≤-4.

教师：很好！丙同学直接选用分离变量的策略求解.

生乙：因为A ∩B ≠Ø，因此问题等价转化为直线x＋y-3＝0与圆（x-a）2＋（y-4）2＝2有公共点，于是，圆心到直线的距离d≤r，即解之得-3≤a≤1.

生甲：直线段x＋y-3＝0（x∈［0，3］）与此圆的下半圆有公共点，即联立方程，得

判别式Δ＝4（a-1）2-8（a2-1）≥0，解之得-3≤a≤1.

教师：请你们检验，当a＝-3时，是否合适？

生乙：经过画图分析，不合适，看来范围还要进一步缩小.怎么缩小？

生丁：利用二次函数图象分析法求解，既要考虑判别式Δ≥0，又要分方程在区间［0，3］内有一解、两解的情况.令f（x）＝2x2-2（a-1）x＋a2-1，于是方程有一解时f（0）f（3）≤0，或者方程有两解时Δ≥0且f（0）≥0且f（3）≥0且0＜a-1＜3，第一种情况解得-1≤a≤1，而第二种情况无解.所以，a的取值范围为-1≤a≤1.

生丙：利用几何直观求解，线段的两个端点为（0，3）和（3，0），根据题意，当一个端点在圆内或圆上时，有A ∩B ≠Ø，因此，a2＋1≤2，即-1≤a≤1.

生戊：但也要注意的是集合B 中元素是在下半圆上的，而动圆的圆心为（a，4）在线段的上方，而半径为，因此只要线段的端点（0，3）在圆内或圆上就可以了.

生丁：还应该考虑线段与半圆有公共点时的情况，这样才算严谨.此时d ≤r，解出-3≤a≤1，最后得-1≤a≤1.

教师：正确！既要重视几何直观想象，又要运用数形结合思想，这样才是严谨的.

生戊：利用函数思想求解，因为A ∩B ≠Ø，因此，方程组在区间［0，π］上有解，于是问题转化为函数在［0，π］上的值域.令f（x）＝x＋其导数为经过讨论知时，f（x）有最大值为所以，函数的值域为故m 的取值范围为

教师：很好！不仅答案正确，而且思路清晰，策略得当，过程简洁.如何提高运算速度，就集合的运算而言，要从四个方面做起：

1.集合的概念要清晰，如集合中的元素特征是什么，集合之间的关系是什么等；

2.算理、运算法则要熟悉，如集合的交集、并集和补集运算法则是什么；

3.选择恰当策略，如运算的策略是否恰当，是否为通性通法，哪种方法最优，过程是否简洁明了等；

4.给出正确结果，如集合的表示是否正确？“且”“或”“包含于”“包含”等用法是否恰当等.

只要坚持做到这些，那么集合运算的速度一定会大大提高，同时数学素养也会得到提升.

实战演练

1.已知集合A＝｛x|x2＋ax＋2＝0，x∈R｝，B＝｛x|x2-2x≤0｝，若A∩B≠Ø，求a的取值范围.

2.（变题）已知集合A＝｛x|ax2＋2x-1＝0，x∈R｝，B＝｛x|2x2-5x＋2≤0｝，若A ∩B ≠Ø，求a的取值范围.

参考答案

解析

1.因为A ∩B≠Ø，而集合B＝［0，2］，因此问题转化为方程x2＋ax＋2＝0，x∈［0，2］有解，但x ＝0不是其解，于是利用分离变量法得，在（0，2］上的值域.由基本不等式得当且仅当时等号成立，因此所以a的取值范围为

3.问题等价转化为方程x2＋2（kx＋b）2＝2，即（2k2＋1）x2＋4kbx＋2b2-2＝0对一切实数k都有解，因此判别式Δ＝16k2b2-8（1＋2k2）（b2-1）≥0对一切实数k恒成立，即b2≤2k2＋1恒成立，所以b2≤（2k2＋1）min＝1，所以，-1≤b≤1.

另解：几何直观法，直线y＝kx＋b在y轴上的截距为b，即过点（0，b），当点（0，b）在椭圆内部或椭圆上时，A ∩B ≠Ø，所以-1≤b≤1.