利用导数求函数极值（最值）或单调性分类讨论问题

南京市教学研究室 龙艳文

导数这一章节的重点问题为利用导数研究函数的单调性和极（最）值问题，其中难点为用导数法求含参函数最（极）值怎样分类讨论.我们通过对一组问题的归类研究，从各种复杂的分类中找出共同规律，提炼出有章可循的分类途径和方法，从而构建用导数分类讨论函数极值（最值）或单调性问题的解题思维模式结构图.

一、解题思维模式形成

二、解题思维模式构建

三、解题思维模式应用

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当0＜a＜3时，记f（x）在区间［0，1］的最大值为M，最小值为m，求M-m的取值范围.

四、解题思维模式练习

1.已知函数f（x）＝（x-k）ex.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）求f（x）在区间［0，1］上的最小值.

2.设a为实数，若函数f（x）＝（x-1）ex-ax2（x∈R）.求函数f（x）的极值.

3.设函数f（x）＝lnx-ax（a∈R）.若函数f（x）在［1，e2］上的最大值为1-ae，求实数a的值.

4.已知函数f（x）＝g（x）·h（x），其中函数g（x）＝ex，h（x）＝x2＋ax＋a.当0＜a＜2时，求函数f（x）在x ∈［-2a，a］上的最大值.

5.已知g（x）＝（-2ax＋1＋a）ex（a＜1），求g（x）在［0，1］上的最小值.

参考答案

1.（1）f（x）的单调递减区间是（-∞，k-1）；单调递增区间是（k-1，＋∞）.

（2）①当k≤1时，f（x）最小值为-k；

②当1＜k＜2时，f（x）最小值为-ek-1；

③当k≥2时，f（x）最小值为f（1）＝（1-k）e.

2.①a≤0时，f（x）有极小值-1，无极大值；

4.f（x）max＝f（a）＝（2a2＋a）ea.

5.①当a＝0时，g（x）min＝1；

②当a＜0时，g（x）min＝1＋a；