高中常见的最值问题探讨
2019-10-15曹学勤
曹学勤
摘 要 高中数学的最值问题是一个常见的题目，它对知识的综合应用和各种数学思想方法有较高的要求。本文就常见的最值问题归纳分析和方法总结，为解决这一类问题做准备。
关键词 高中;最值;解法
中图分类号：O241.7 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2019）28-0171-01
数学中最值问题在考试中很常见，经常涉及。它对知识的综合应用和各种数学思想方法有较高的要求，一般是综合题型。因为这样的要求，有些学生就会感觉困难。这一类型题目的出题形式多种多样，可以是选择填空题，也可以是简答题。这就不仅要掌握基础知识和基本方法，还要灵活应用知识的技巧、规范的步骤，解决这一类题目才能得心应手。下面我针对一些常见的类型，分析常见的解决办法。
首先来看常见的求最值的方法：函数的最值常用函数性质特别是单调性、导数来解决。其他常用的有线性规划、基本不等式、几何方法等。线性规划单独成题，不再研究。不同题目中，以不同的载体和形式出现。
例1：已知函数
，求的最大值及此时的x。
形式上是函数的最值问题。从不同的角度分析，可以有不同的做法。分析其形式特点，对应采用合适的解决方法。
分析一，从函数的角度来看，这是一个复合函数求最值的问题。根据这种由里到外的原则，先求定义域
，换元t=x（1-x），由t的范围，可得函数值y的最大值为0.5。
从做题过程可以看出，实际上是利用了二次函数区间上的最值来解决的。类似于这样的问题，只要熟悉各种基本初等函数，数形结合，观察最高点和最低点就可以得到最值。比如函数
在
时的最值，要求画出函数的图像，并截取所需要的部分，观察图像就可以得到。类似于三角函数也一样。实際上只要是基本初等函数都是这样的做法。
分析二，当时，x和1-x都是非负数，且x和1-x的和为定值，可以利用基本不等式来求最值。但要注意x为0和1的特殊情况，综上就可以得到y的最大值0.5。
要用基本不等式来求最值，必须在形式上具有和或积是定值，才能求积或和的最值。并要注意参与基本不等式的两个数都是正数，且等号能够取到这两个条件。也就是我们常说的三个条件“一正，二定，三相等”，考试中常在这些方面做文章。类似的变形考题如：求
的最值。题目中的4其实不影响定值。再如
，这时2就有了影响，为得到和是定值，变形即可，就可以利用基本不等式来求解最值了。这种题型也常在解析几何考题中出现，比如求面积的最值，常是将面积表示为某变量的函数，利用基本不等式求解。近几年高考题中常有这种类型，要引起注意。
分析三，考虑到
的特殊性，想到三角函数就在0到1范围内，故可利用三角代换x=sin2
来解决问题。用这种方法时，一定要注意变量范围。三角代换求最值中，要熟练利用三角函数的相关公式，变形为
形式的最值问题结合三角函数公式和函数性质来完成这一类题目。
这道题也是一些最值问题的解决办法。另外在考试中，也有一些复杂函数的最值问题，大部分是利用导数来解决。在高考中，可以单独成题。比如2018年高考文科21题第二问就是这样：已知函数
证明：当
时，
。
我们只看第二问，实质上是一个最值问题。构造新函数
，求他的的最小值点就可以得到结论。证明不等式成立，实质上是通过求解函数的最值来完成。这个函数中，既有指数函数，又有对数函数，不是基本初等函数，形式上比较复杂。所以要用导数判断单调性来完成。还有一类题，也是通過函数的最值来完成的，但是他以不同的载体出现的。再看下面一道题：在
中，
，a=3，求周长的最大值。
分析一，要借助三角函数公式，来构建有关周长的函数l
，由函数来求解最值问题。本题看是三角函数的综合题目，实际上还是方程思想来解决的。分析二，可以结合余弦定理，利用基本不等式来完成。本题以三角形为载体，考察了用函数和基本不等式求最值的问题。要透过现象看本质，根据题目的不同形式，采用合适的办法来解决。数列中，也常有最值问题。
例3，在等差数列
中，
，求数列前n项和以及他的最大值。
分析一，将Sn表示成关于n的函数
，还是利用函数来求解最值问题。这是关于n的二次函数，只不过是n只能取到正整数，仍然可以利用二次函数的知识来解决。分析二：数列也有他自身特殊的处理办法，不仅仅可用函数知识来解决。通过分析数列中的项，首项为11公差为2，可知这个数列是这样的;11，9，7，5，3，1，……，可见前6项为正数，第7项开始以后都是负数，当然前6项的和是最大的。
再看一道以向量为载体的最值问题：已知
是平面内互相垂直的单位向量，若向量c满足
，求
的最大值。分析：转化为几何图形问题。由条件可知，向量c的终点在以a，b，终点为直径的圆上，故的最大值为
。
最值问题是考试中很常见的一类型题，他经常以不同的形式不同的载体来出现。常见的考察形式有函数，三角函数，数列、向量或解析几何等。但解决时都需要进行相应的转化。一般常见的解决办法是利用函数或三角代换、基本不等式或线性规划以及几何方法等来解决。以上的分析可见不论是哪种形式，都在考察函数方程，数形结合、分类讨论和化归思想这些核心素养。要熟悉基础知识基技能，同时不断提高分析问题解决问题的能力，提高计算能力。在此基础上掌握各种求最值的方法，也要注意使用的条件和技巧准确转化，更重要的是能够灵活熟练的综合应用知识和解法，才能在高考中将最值问题很好解决，进一步提高考试成绩。
