基于最小二乘法多项式拟合三角测量模型研究

卢治功，贺 鹏，职连杰，陈文建

(1.中电科信息产业有限公司，河南 郑州450007；2.中国电子科技集团公司 第二十七研究所，河南 郑州450007；3.南京理工大学 电子工程与光电技术学院，江苏 南京 210094)

引言

光学三角测量法是一种古老测量方法。二十世纪六十年代以来，随着激光技术和光电探测器件(PSD、CCD)的快速发展，利用激光器具有光束方向性好、亮度高的特点形成的激光三角测量法快速发展。它具有非接触测量、测量范围大(亚微米～百米量级)、相对测量精度高、结构简单、环境适应性强等多种优点，被广泛应用于工业自动化、航空航天、生物医学等国民经济多个领域。

工程应用中虽然激光三角测量的结构参数是确定的，但是其具体数值不具备准确度量的可能性,例如物方工作距离a、像方工作距离b、发射和接收光轴夹角θ，难以找到测量基准和测量方法进行准确测量；另外其理论计算模型也是非线性的。因此激光三角测量传感器均需要装配完成后进行模型标定。本文根据激光三角测量中计算模型的实际需要，研究分析了最小二乘法多项式拟合三角测量计算模型方法，提出了根据最大相对拟合残差要求、结合相关系数用于控制拟合多项式阶数的评价方法，并通过实际测量系统的数据进行了验证分析。

1 激光三角测量方法检测原理及影响因素

1.1 激光三角测量方法检测原理

激光三角法利用了被测物体表面对激光束的漫反射效应，是最常用的激光测位移的方法之一。图1分别给出单点式激光三角法斜射结构[2-3][11-13]。

其测量原理是：激光器1发出光线经透镜2倾斜(或垂直)入射到被测物体表面3形成光斑，物体表面高度变化导致入射光点沿入射光轴移动，光斑透过透镜4成像在CCD光敏面5上。若光斑点在成像面上的位移为y，像点在被测面的位移Y，则有(1)式所示关系存在。

(1)

式中：a为激光束光轴和接收透镜光轴的交点到透镜前主面的距离；b为接收透镜后主面到成像面中心点的距离；θ1为激光束光轴和被测面法线的夹角；θ2为成像透镜光轴和被测面法线的夹角。当θ1=0时，相当于直射式三角测量，关系式变化为(2)式。

(2)

图1 激光三角法斜射式结构Fig.1 Laser triangulation oblique structure

在实际应用中，一般采用激光三角法直射结构方案。本文是研究激光三角测量的模型建立方法，用(1)式作为分析的基础更具有普遍意义。

1.2 影响激光三角测量的主要因素

在实际三角测量系统中，存在许多影响因素，在文献[1-3][11]中有详细的分析。首先是成像系统误差；二是光电传感器、电路处理误差；三是数据处理误差；四是温度、湿度等环境因素误差；最后是被测表面引入的误差。上述影响因素中，最后两项为外部因素，取决于使用环境和被测目标。本文主要研究测量模型的内在问题，不考虑这两项。

本文主要研究的是测量过程中的系统误差消除、讨论建立数据模型的方法。在激光三角测量中系统误差的来源包括光学系统引入的误差、CCD(PSD)定位的非线性[6]、处理电路引入的误差。

计算(1)式是在理想情况下得到的，上述系统误差在实际应用中难以度量和消除，只有通过标定的方法才能建立准确的测量模型，消除系统误差。

1.3 测量数学模型建立的依据和方法

三角测量计算公式(1)虽然在实际中不能完全通过各种参数确定，但是根据光学成像规律，在成像范围内物点位移y和像点位移x之间一一对应、无尖角(极限处处存在)、无间断点，因此一定存在一个光滑、连续函数y=f(x)。根据泰勒定理，任何一个光滑函数均可以展开为一个无穷多项式：

y=f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a0xn+…

(3)

因此，测量数学模型可以通过测量一组像点和对应物点的数据(xi，yi)(i=1，2，…，m)，拟合一个n次多项式Pn(x)来逼近f(x)，求得一个近似解析表达式：

y=f(x)≈Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn

(4)

2 最小二乘法拟合多项式的基本原理

在科学实验中[4]，经常从一组实验数据(xi,yi)(i=1，2，…，m)出发，寻求函数y=f(x)的一个近似表达式y=p(x)。由于实验数据带有一定误差，一般用曲线拟合的方法进行数据处理。文献[8-9][15]对数据拟合进行了详尽的分析。

通常根据“使偏差平方和最小”的原则来选取拟合曲线y=p(x)，这种方法称为最小二乘法。用最小二乘法解决实际问题有两个步骤：第一、根据所给数据点的变化趋势确定p(x)所具有的形式；第二、按最小二乘法求得最小二乘解。经常采用最小二乘曲线拟合y=p(x)具有多项式形式：

pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n

(5)

(6)

3 建立实验光学系统及数据分析

3.1 数据计算模型的评价

首先，分析决定系数r2(相关系数r的平方)的计算方法公式(7)。

(7)

决定系数r2反映了多项式拟合的置信度。本文采用“3σ原则”，即置信度99.74%。

其次，分析相对最大残差的计算方法。由于测量数据带有一定的误差，最小二乘拟合得到的是个总体评价，为了控制特殊点存在较大的偏差，引入一个相对最大残差ε来评价拟合结果。相对最大残差计算方法定义如下：

(8)

式中：|ym-y0|为系统的最大测量范围。

一般的测量仪器给出的指标采用相对误差的概念，以满量程的百分比表示。相对最大残差与其相当，设计者可以根据系统测量误差要求选择合适的相对最大残差值控制多项式的阶数，比如选择0.1%。

3.2 数据计算模型的应用

应用上述数据模型的建立方法，开发了两款激光位移传感器，并在某工业生产线上得到了应用。激光位移传感器采用垂直入射型激光三角测量原理，光学详细结构及实验装置如图2所示。

具体光学结构数据及要求如表1所示。

两款激光位移传感器标定用的原始数据如表2所示。

运用最小二乘法构建正规方程、拟合多项式、计算拟合结果，按照定义式，求出决定系数和相对最大残差，结果如表3所示。

图2 光学结构及实验装置图Fig.2 Optical structure and experimental device diagram

表1 光学结构数据

表2 实验原始数据

表3 最终计算结果

图3 多项式拟合残差图Fig.3 Diagram of polynomial fitting residual

从表3可以看出，基于最小二乘多项式拟合三角测量模型的方法可以很好地拟合测量数据，在6阶多项式拟合时，决定系数可以达到100%，最大相对残差ε可以达到10-7量级。

同时从表3可以看出，只考虑决定系数满足“3σ原则”时，线性拟合就可以达到要求，但是最大相对残差ε只能达到1%；需要3阶多项式拟合才能满足最大相对残差0.1%的要求。因此采用相对残差来控制多项式的阶数更具有实际意义。

在两款激光位移传感器的原始数据中，使用了7组数据拟合多项式模型，第4、6两项数据没有参与拟合运算，用于验证模型的可靠性。从图3可以看出30、50 mm处最大误差0.021 mm，拟合结果满足测量精度0.03 mm的要求，设计达到了预期的测量效果。

4 结论

本文提出的基于最小二乘多项式拟合三角测量模型的方法在实际数据计算中取得了很好的效果，拟合3阶多项式就可以达到很高的测量精度，6阶多项式甚至可以达到10-7量级的测量精度。本文提出的运用决定系数、最大相对残差综合评价拟合结果方法来控制拟合多项式的阶数，在满足设定测量要求的情况下，有效减少计算量。通过两款激光位移传感器的实际应用，证明了本方法具备测量的准确性、实际测量的可行性。