揭示数学本质 关注数学发现

江苏省无锡市立人高级中学 (214161)

郑宝生 沈熠璠

前一段时间，我区开展高中数学青年教师评优课，有幸作为评委的我们，参与了整个听课和评课的过程.所用教材是苏教版普通高中数学必修4，内容是“两角差的余弦公式”(以下称为“公式”).青年教师们各显身手，呈现了许多不同的教学方案，其教学风格自然也各具特色，不同的方案会有哪些优势和不足？有没有更好的教学方案？这些问题一直困扰着我，促使我仔细分析、深入思考，试图找出恰当的理由来说服自己，更期待说服别人，故形成如下文字.

一、课堂教学设计案例

不同的课堂教学设计方案会产生不同的教学效果.在这次区评优课众多的教学方案中，其主流也就是如下两种，而第三种是笔者课后的探究所得，需要对教材的知识内容进行前后次序的调整.

1.在习题的解答中发现问题

从普通高中苏教版教材必修4，习题2.4探究拓展中的第22题开始.

方案一

同样可得cos(90°-60°)=cos90°cos60°+sin90°sin60°，由于cos90°=0，sin90°=1,所以cos30°=sin60°等式成立.

事实上，由于向量的夹角θ∈[0,π]，则θ=α-β+2kπ或θ=β-α+2kπ，k∈Z.所以等式成立.

评议：这样的课堂教学简洁明快、直奔主题，从特殊到一般的探究方法，体现了数学的抽象过程.然而，公式的产生既不是生活实际的需求，也不是数学发展的需要，仅仅是解题中找到的规律而已，缺少知识产生的必要性，不能更好地激发学生学习的内部需求，难以调动学生的学习积极性.其次，向量数量积的运算公式已经存在，无需学生去发现，只要进行等式是否成立的检验，这样就失去了公式的发现过程，不利于学生发现问题、提出问题能力的培养.最后，开头的习题已经告诉了定理的证明过程，无需在证明方法上进行更多的思考，只要澄清向量的夹角与α-β之间的关系，这使得公式的证明降低了思维含量，不利于学生思维能力的培养.

2.从诱导公式的结果中发现问题

从学生熟悉的数学情境中入手，通过恰当的问题，既能体现数学知识间内在的联系，又能更好地激发学生的求知欲望.

方案二

问题3 我们学过的知识中哪里有cos15°在直角三角形ABC中，∠A=15°，∠C=90°，则∠B=75°，我们会解的是30°角的直角三角形，怎么办？

问题6 对于任意角α、β怎样证明cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ？

(1)在我们学过的知识中，哪里可以找到sinα、cosα和sinβ、cosβ？

(2)在单位圆中怎样得到cosα·cosβ+sinα·sinβ？退一步，能找到x1x2+y1y2吗？

(证明略).

3.在诱导公式的推导中发现问题

由于现在的普通高中数学没有按照教材编排的顺序进行学习，而是学习必修1后，直接学习必修4然后再学习必修2，这样必修4中三角函数两角差的余弦公式的学习，先于必修2中解析几何直线与圆的学习，导致三角函数中单位圆中对称性的运用受到制约，三角函数中两角差的余弦公式其本质就是圆的对称性，如何通过单位圆的对称性来展示数学公式的发现过程，笔者进行了如下的探讨：首先要学习必修2中的解析几何的“直线和圆”，然后再来学习必修4中的“三角函数”.其次对于教材中知识内容的次序也要进行调整，凸现两角差的余弦公式的数学本质.

方案三

问题2 上述两个问题的相同之处和不同之处是什么？

图2

图3

二、课后反思及感悟

课堂教学效果受教师的影响也受学生的制约，教学方案的设计直接影响着教学效果，教学方案的先天不足，必然导致教学质量的下降，优秀的教学方案既能反映数学的本质，又能触动学生的疑虑，点燃学生的思绪，激发学生的求知欲望，使得数学核心素养真正落到实处.

1.揭示数学本质，重视数学经验的积累

三个方案各不相同，反映了教师对数学知识的不同理解，以及执教者不同的教学理念.方案一缺少了知识产生的必要性，但也反映了数学知识产生的归纳过程，从知识传授的角度看，它会给学生带来更多的疑虑，为什么要解这样的题目？这样的方法你是怎样想到的？丢失了许多学生独立思考的机缘；从育人的角度看，学生体会不到数学知识的本质，感悟不到数学知识研究的方式方法，不利于学生形成良好的数学观，这对于学生的数学学习会产生负面影响.方案二充分展示了数学归纳的一面，从情境到问题，从数值拼凑到假设检验，从数学猜想到数学抽象，整个教学过程体现了数学研究最基本的方式方法，这对于学生积累数学研究的经验，形成数学研究的套路是很有帮助的.方案三更多地体现了数学演绎的一面，从找到两个三角函数诱导公式的对称性开始，沿着对称性这条主线逐渐推理下去，最后推得两角差的余弦公式，而这个公式的数学本质就是：单位圆中，任意两个角的终边关于某一条直径所在直线对称，所以说圆是最好的刻画三角函数的数学模型.数学经验的积累、数学本质的把握，对于理解公式进而理解数学是十分有益的.

2.关注数学发现，彰显学生的主体作用

3.展示数学思想，发展学生的数学核心素养

数学有三个基本特征，一般性、严谨性和应用的广泛性，这是数学领域里的普遍共识，与之对应的数学基本思想是：抽象、推理和模型，反映在学生身上的思维品质和关键能力，就是六个数学学科的核心素养.上述三个教学方案，都体现了从特殊到一般的抽象过程，数学发现的合情推理与数学证明的逻辑推理过程，以及形成公式的建模过程，由于选择的路径不同，所表现出来的数学基本思想强弱差距很大，落实到学生思想或行为上的数学核心素养必然不同.数学课堂教学需要揭示数学知识的本质，理清数学知识之间的联系，展示数学的研究方法，使学生真正走进数学内部，近距离触摸数学知识的发展脉络，这样才能让数学散发出自身的魅力，吸引和感染更多的学生喜欢数学、会学数学.其次，学生思维的主动参与是发展学生核心素养的根本保证，没有学生参与的课堂教学，只是教师的一味灌输，学生的被动记忆，他们的才华得不到施展，情感得不到宣泄，发现问题、分析问题的能力得不到锻炼和培养，数学核心素养的发展必然落空.这样培养出来的学生不会思考、缺乏主见，不会思考的人无法辨别是非，缺乏主见的人没有创新能力.所以说，数学课堂教学需要揭示数学知识的本质，激发学生的学习热情，让学生的思维真正动起来，实现思维的相互碰创，这样的数学课堂教学才会充满勃勃生机.