相空间中可控力学系统的Noether对称性与守恒量
2019-10-14季晓慧朱建青
季晓慧，朱建青
(苏州科技大学数理学院，江苏 苏州 215009)
1988年，Hilger提出了时间尺度理论[1]，将连续分析与离散分析统一起来。自时间尺度理论提出以来，已被应用于许多领域[2-11]，如变分原理、最优控制等。在动力学系统的研究中，对称性和守恒量的研究是一个重要方向。1918年，Noether揭示了Hamilton作用量在无限小变换群下的不变性，并得到守恒量。近年来，利用对称性寻找守恒量的研究已取得重要的成果[12-19]。但是，关于时间尺度上动力学系统的对称性与守恒量的研究相对较少。2004年，Boner[20]研究了时间尺度上的变分问题。从此开始，对于时间尺度上变分问题的研究进展迅速。2008年，Bartosiewicz和Torres[21]使用时间重新参数化技术得到了一般无限小变换群下的Noether定理。2013年，Cai等[22]研究了时间尺度上约束力学系统的Noether理论。2014年，Peng和Luo[23]研究了时间尺度上Hamilton系统的Noether定理。2015年，Song和Zhang[24]建立了时间尺度上的Birkhoff方程。随着控制理论的发展，许多学者对可控系统的对称性与守恒量进行了研究[25-27]。而，时间尺度上可控系统的研究刚刚起步。本文研究了时间尺度上相空间中可控力学系统的Noether对称性及其守恒量，并通过算例说明其应用。
1 时间尺度上相空间中可控力学系统的运动方程
设力学系统的位形由n个广义坐标qs(s=1,2,,n)确定，系统的运动受g个包含控制参数的一阶非chetaev型非完整约束为
β=1,2,,g;
s=1,2,,n;
r=1,2,,b
(1)
约束(1)对虚位移的限制条件为
s=1,2,,n;
β=1,2,,g;
r=1,2,,b
(2)
时间尺度上Lagrange函数为
(3)
(4)
假设系统非奇异，即
(5)
(6)
其中
(7)
引进时间尺度上广义动量和Hamilton函数
(8)
(9)
在相空间中，方程(1)、(2)和(7)式可写成
=0
(10)
(11)
(12)
时间尺度上Hamilton作用量为
(13)
对于时间尺度上相空间中有非势力的力学系统,Hamilton原理可表示为
(14)
(15)
δqs(t)|t=t0=δqs(t)|t=t1
=0
(16)
=0
(17)
利用式(16)有
(18)
将(18)式代入(17)式，得
(19)
方程(19)两边对ps求偏导数，得
(20)
将(20)式代入(19)式，得
(21)
将(21)式两边求Δ导数，得
s=1,2,,n;
β=1,2,，g
(22)
联立方程(20)和(22),由(12)式，可得
(23)
称方程(23)为系统(10)、(11)、(20)和(22)的时间尺度上可控完整系统的运动方程，通过方程(23)中的控制参数vr来控制系统的运动。
2 时间尺度上相空间中可控力学系统的Noether定理
引进时间变化的单参数无限小变换群
(24)
其中，ε为无限小参数，ξ0、ξs和ηs为该无限小变换的生成元。
定义1若作用量(13)在变换(24)下是广义准对称不变量，当且仅当对于任意的[ta,tb]⊆[t0,t1]，都有
(25)
判据1对于无限小变换(24)，如果无限小生成元ξ0、ξs、ηs满足如下条件
(26)
则，变换为Noether意义下的广义准对称变换。
定理1如果无限小变换(24)是系统(23)下的广义准对称变换，那么
=C
(27)
是该系统的守恒量。
证明
=0
推论1若T=R，非完整约束为Chetaev型时，σ(t)=t,μ(t)=0,于是(26)式给出经典的结构方程
(28)
则守恒量(27)称为经典的相空间中可控力学系统的守恒量[25]
I=psξs-Hξ0+G=C
(29)
3 算 例
定义时间尺度
T={hk∶k∈Z}
(30)
系统的Lagrange函数为
(31)
所受的非完整约束为
(32)
其中，v(t)为控制参数，v(t)是t的函数，假设(32)是非Chetaev型的，虚位移限制方程为
(33)
根据(8)式和(9)式，有广义动量和Hamilton函数
(34)
(35)
建立该系统的正则方程，由式(22)得
(36)
由(32)、(34)和(36)式，求得
(37)
于是有
(38)
根据式(2)和(26)式，可得
=-GΔ
(39)
(40)
由(39)和(40)式，解得该系统的生成元
ξ0=0,ξ1=1,ξ2=1,η1=η2=0
(41)
将(41)式代入(26)式,有规范函数
GΔ=1
(42)
解得
G=t
(43)
由定理1，可得到守恒量
I=p1+p2+t
(44)
4 结 论
本文研究时间尺度上相空间中可控力学系统的Noether对称性。通过时间尺度上Hamilton原理，建立系统的Hamilton方程，得到了系统的Noether等式以及守恒量的具体表达式。由于时间尺度理论在动力学系统的研究具有重要意义，本文可进一步拓展到时间尺度上可控力学系统Lie对称性，Mei对称性等。
