关于分块矩阵求逆和行列式的方法探究与应用

沈进中，姜媛媛，朱洪波

（安徽理工大学电气与信息工程学院,安徽淮南232001）

上海交通大学在2004研究生考试的科目中，高等代数第5题为：求下面多项式的所有根。

文献[1]第57页的93题恰为此题，并对其给出解答。作者经过计算，发现文献[1]给出的结果是错误的。与此同时，作者在研读文献[2]的过程中，发现同一个分块矩阵可以有两种计算其行列式和逆矩阵的方法。但文献[2]仅仅给出公式，而无任何证明过程，于是笔者针对此问题进行研究，并得出了若干结果。

1 主要结果

为方便阅读，C表示复数域，0表示零矩阵，det(A)表示A的行列式。

引理1设A∈Cm×m,B∈Cn×n,均为非奇异矩阵,C,D均为阶数适当矩阵，则

这样便完成了证明。

推论1已知矩阵A∈Cm×m，B∈Cn×n，C∈Cn×m，D∈Cm×n，那么有如下结论：

（1）若A和B都是可逆矩阵，则(B-CA-1D)为可逆当且仅当(A-DB-1C)可逆。若A，B，(B-CA-1D)都是可矩阵，那么成立

可知 det(A)det(B-CA-1D)=det(B)det(A-DB-1C)，注意到A和B都是可逆，因此 det(B-CA-1D)与det(A-DB-1C)同时为零，或同时均不为零。这表明(B-CA-1D)为可逆当且仅当(A-DB-1C)可逆。

（2）根据定理1可知，H-1有两种表示形式，但根据矩阵的逆具有唯一性知，这两种形式表示的是同一矩阵，根据矩阵对应元素相等的原则，立即可得（2）中的三个等式。

推论2已知矩阵A∈Cm×m，B∈Cn×n，C∈Cn×m，D∈Cm×n，若A和B都是可逆矩阵，则

证明：根据推论1中的关于结论（1）的证明过程立即得推论2。

推论3A∈Cm×m是非奇异矩阵，u,v∈Cn×1，若满足vHA-1u≠1，则

证明：令A=A，B=[1]，D=-u，C=vH，根据推论2中（2）的i的结论(A-DB-1C)=-1A-1+A-1D(B-CA-1D)-1CA，-1立即可得i

注：在文献[2]的第10页，推论3中结论称为Sherman-Morrison公式,但文献[2]未给出证明。

推论4A∈Cm×m，B∈Cn×n，C∈Cn×m，D∈Cm×n，且A和B都是可逆矩阵，

证明：根据推论2中（2）的i的结论,注意将D换成-D,注意将B换成B-1,便得到本推论中结论。

注：推论4的结论也称Woodbury公式[2],但文献[2]没给出证明。

2 应用举例

例1文献[1]第57页的93题的求解。问题为求本文引言部分的f(x)的根。

例2取自文献[3]中47页的两个线性系统在反馈连接，系统Σ1=(A1,B1,C1)的传递函数为G1(s)，系统Σ2=(A2,B2,C2)的传递函数为G2(s)，系统那么整个系统的传递函数G(s)为W(s)=W1(s)(I+W2(s)W1(s))-1=(I+W1(s)W2(s))-1W1(s)。

证明：文献[3]仅仅给出了W(s)=W1(s)(I+W2(s)W1(s))-1的证明，但没有给出W(s)=(I+W1(s)W2(s))-1W1(s)的证明。根据本文推论2中的结论（2）的iii:(A-DB-1C)-1DB=-1A-1D(B-CA-1D)，-1令A=I,D=W1(s),B=I,C=-W2，(s)立即可得W1(s)(I+W2(s)W1(s))-1=(I+W1(s)W2(s))-1W1(s)。

3 结束语

本文详细研究了定理1中分块矩阵H，并给出两个H可逆的充分条件，分别给出H的逆矩阵表达形式，给出完整证明，以此得到了3个矩阵求逆的公式。这些结果以推论2的形式给出。特别地，根据推论3，推论4的结果，这就给出了两个著名的矩阵求逆公式：Sherman-Morrison公式和Woodbury公式完整证明，而文献[2]并没有给出这些结果的证明。作者还查阅其他专著，尚未见这两个公式的证明。文献[4]和文献[5]也分析了Sherman-Morrison公式，做了一点推广，通过对比可知，本文结果更一般化，文献[4]和文献[5]的结果是本文推论1和推论2的特例。作为应用，本文给出了两个例子，第一个例子采用本文结果，很简洁得得到文献[1]中57页第93题的正确结果，进一步验证了文献[1]中所给的结果是错误的。第二个例子是作者给本科生上现代控制理论课程时发现，文献[3]在47-48页分析求输出反馈系统的传递函数矩阵时，给出了两个求解公式，但有一个公式以“同理可得”的方式给出，作者曾试图求解，而未能得出。现用本文的推论2便立即得出，有一种“拨开云雾见明月”之感。这也是写此论文的一个初衷。