重要不等式变式的推广及应用*

☉四川内江师范学院数学与信息科学学院 杨诗棋

☉四川内江师范学院数学与信息科学学院 宋元妹

☉四川内江师范学院数学与信息科学学院 刘成龙

（a-b）2≥0是中学阶段最基本、最重要的不等式.由（a-b）2≥0出发可以得到一系列变式，比如［1］：等.这些变式应用广泛，是证明分式不等式的一把利剑.当然，这些变式也存在一些局限：证明的对象仅仅限于一次或二次.为突破次数的限制，有必要对这些变式进一步“升级”.文中仅对进行推广，并运用推广处理一些不等式的证明，以此抛砖引玉.

一、变式的推广

推广：设a，b∈R+，n∈N且n≥2，则，当且仅当2a=b时取等号.

证 明：则（2a）n≥2nabn-1-（n-1）bn，两边同除2nbn-1可得

二、推广的应用

例1（美国《大学数学杂志》1991年第4期征解题）设xi∈R+（i=1，2，…，n），求证xn（x1+x2+…+xn-1+xn）.

证明：原问题等价于xn-1+xn，

当且仅当x1=x2=…=xn时等号成立.

当且仅当a1=a2=…=an时等号成立.

例3设ai，bi∈R+，i=1，2，…，n，n∈N*，且，求证

证明：原问题等价于

例4（伯努利不等式）x＞-1，n为正整数，则（1+x）n≥1+nx.

例5（权方和不等式）设ai，bi＞0，i=1，2，…，n，k∈R+，则

证明：令s=（a1+a2+…+an）-1，t=（b1+b2+…+bn）-1，则原不等式等价于