高职数学两个重要极限教法探析

陈忠东

[摘           要]  结合高职数学的教学实际，对两个重要极限的教学方法进行了分析、探讨，总结出适应高职学生数学基础的教学方法。对有效地化解教学难点，提高高职数学教学效果有一定的探索意义。

[关    键   词]  高职数学;重要极限;教法

[中图分类号]  G712              [文献标志码]  A            [文章编号]  2096-0603（2019）17-0196-02

高职学生数学基础较为薄弱，由于数学知识间紧密的联系性，致使他们在学习新知识时不能完全领悟、理解，虽然付出努力却收获甚微。如何克服困难，充分利用各种有利条件调动学生学习数学的积极性，保证大多数学生能够学好数学，值得高职的数学教师研究并且要探索出一种可行的教法。

给学生上课讲两个重要极限时，经常会遇到学生有以下困惑：在学习第一个重要极限时，有的学生将■■=1与■■=0混淆。在学习第二个重要极限■1+■x=e时，有的学生容易与■1+■x=1混淆。做相关题目时也不能区分正确两个重要极限，也就是抓不住问题的实质。学生产生上述困惑的主要原因是概念不清、基础不扎实以及缺乏自信。从教学方面来看，主要是没有采用适应高职学生数学基础的教学方法，没能重点讲清两个重要极限的结构特征。

高职数学中很多典型知识的应用是有规律可循的，恰当地总结与应用这些规律，可以使学生在解决有关问题时方向明确，事半功倍。因此，笔者在高职两个重要极限教学实践中，采用找规律，抓方法，勤总结，将两个重要极限的知识要点归纳起来，先给出一般表现形式，再给出其特点，最后通过实例学习来巩固强化，化解教学难点，达到加深学生理解、举一反三的效果，收到了较好的教学效果。

下面结合例题加以说明。

一、第一个重要极限

1.表现形式（1）■■=1        （2）■■=1

2.第一个重要极限的两个特征

（1）角度一定趋于零;

（2）分子是角度的正弦函数，分母一定是这个角度本身。

第一个重要极限应用于求含三角函数的■型未定式极限，所求极限同时满足两个特征时，极限值就等于1。若仅不具备第二个特征，则凑不含sin号的那一边，使之满足第一个重要极限的形式。

3.实例

如果所求极限不具备第一个特征，则一定不能用第一个重要极限。

例1 求下列函数极限

（1）■■         （2）■■

解 （1）虽然函数也是■的形式，但当x→■时，该极限不满足■型，所以它不属于第一个重要极限。直接用代入法即可解得■■=■=■=■

（2）■■

由于x→∞时，该极限不满足■型，所以它不属于第一个重要极限。利用无穷小量的性质：“无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量”。

■■=0，且sinx≤1，■■=■■sinx=0.

若仅不具备第二个特征，则凑不含sin号的那一边，使之满足第一个重要极限的形式，进而应用第一个重要极限求解。

例2 求■■

解 ■■（■型）=5■■= 5.

小结：■■=k

例3 求■■

解 ■■（■型）=■■=■■■=■.

小结：■■=■

例4 求■■

解 ■■=■■=■■■■=1.

例5 求■■.

解 ■■=■■·■=1×1=1

上面的解法是错误的。

因为x→π时不满足第一个重要极限的两个特征，不能使用■■=1及■■=1。

正确的解法为：■■=■■=■■=-■■=-■=-1.

4.学生做练习，巩固所学

（1）■■=7   （2）■■=■

二、第二个重要极限

1.表现形式

（1）■1+■x=e （2）■1+■Φ（x）=e

2.第二个重要极限的两个特征

（1）底一定是数1加上无穷小量;

（2）指数一定是底中无穷小量的倒数。

第二个重要极限应用于求1∞型未定式，所求极限同时满足两个特征时，极限值就等于e.所求极限若具有第一个特征而不具备第二个特征，则可以通过幂的运算法则等代数恒等变形，使之满足第二个特征，进而应用第二个重要极限求解。

3.实例

例6求■1+■x+4

解 ■1+■x+4（1∞型）

=■1+■x■1+■4=e×1=e.

小结：■1+■x+k=e.

例7 求■1+■4x

解 ■1+■4x（1∞型）

=■1+■■■=■1+■■■=e4■.

小结：■1+■kx=ek■.

例8 求■1-■x

解 ■1-■x=■1+■■■=e-3.

小结：■1+■x=ek■.

例9 求■1+■3x+5

解 ■1+■3x+5=■1+■3x■1+■■=■1+■■1+■■

=■1+■■■1+■■=e6

小結：■1+■bx+c=eab.

例10  求■■■

解  ■■■=■■■=■■=■=e.

4.学生做练习，巩固所学

（1）■1+■■=e.（2）■1+■■=e3.

（3）■1-■■=e-1.（4）■1+■■=e■3×4=e12.

学生直接应用两个重要极限求其他极限比较困难，但可以将它们分别推广为一般公式，通过一般公式学生可以清楚地了解两类极限中函数的结构特征、应具备的条件，教师再向学生介绍两个公式在使用时对所给函数进行恒等变形的关键点，让学生在理解的基础上直接套用公式解题，再配以例题讲解以及一定量的反复巩固练习，突破了难点就可以使学生得心应手地进行有关的极限计算。

总之，在两个重要极限的教学设计中，要充分了解学生的基础和知识面，如三角函数的有关公式，幂的有关运算法则学生大都遗忘了，在教学时要注意多花点时间给学生复习，往往学生的难点不都出现在本节所要理解的内容上。

在实际教学中，应教会学生吃透教材，并且结合实际进行通俗化、公式化及口诀化教学，尽量使用短小精悍的语言，让学生尽快掌握并能熟练应用。要让学生做学习的主人，变“要我学”为“我要学”。只有这样，才能提高学生学习数学、应用数学的能力，取得良好的教学效果。

参考文献：

[1]赵树嫄.经济应用数学基础（一）微积分[M].3版.北京：中国人民大学出版社，2007.

[2]贾敬堂，徐爱华，张彩红.高职数学两个重要极限教法探究[J].邯郸职业技术学院学报，2013（26）：1.

编辑 马燕萍