浅谈如何运用发散教学提高课堂实效

摘 要：有关函数问题，涉及的面比较广，知识点多而且难度较大，学习过程中需要教师的细致分析，进行归类、总结。面对不同经验层次的学生，面对着不同学生互异的思维方向，针对不同的问题，通过观察、引导、联想、类比、归纳、回归到已经解决的某些或某类问题，要求我们要把握好课堂教学的能力，因势利导，抓住问题的实质进行发散教学;回归收敛，帮助学生去除心理上的弱势，树立他们克服困难的勇气和信心，形成新的经验理论。在教学过程中通过适当的提前干预、拓展、延伸或通过变式训练加以提高。教学中教师适当启发和引导，让学生主动探究和发现，理解和掌握知识，使思维变得敏捷。通过以下几个例题的教学有感。

关键词：教学;提高;实效

一、 构造函数

1.

已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）>xf′（x）恒成立，则不等式x2f（1x）-f（x）>0的解集为    。

本题主要考查导数在研究函数中的应用，g（x）=f（x）x，则g′（x）=xf′（x）-f（x）x2<0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，不等式两边同时除以x，得f（1x）1x-f（x）x>0，即g（1x）>g（x），所以1x0，解得x>1。

所以不等式的解集x|x>1。形如xf′（x）-f（x）>0，构造h（x）=f（x）x。

2.

已知函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），若f（2-x）=f（x）e2-2x，（x-1）f′（x）-f（x）>0，则下列判断一定正确的是（  ）

A. f（1）e2f（0）

C. f（3）>e3f（0）D. f（4）

解析：g（x）=f（x）e-x，则g′（x）=e-x（f′（x）-f（x）），x>1时，g′（x）>0，x<1时，g′（x）<0

g（x）在（1，+∞）上单调递增，g（x）在（-∞，1）上单调递减，f（2-x）e2-2x=f（x），即f（2-x）e2-2x=f（x）ex，f（3）e3>f（0）e0故选C，归类对于f′（x）-f（x）>0，构造h（x）=f（x）ex。

通过对各类构造函数的归类总结，去拓展，去延伸，使學生能够举一反三，使课堂效率提高，学生的思维变得敏捷，形成知识结构。解决问题和分析问题的能力得以提升。在已有的知识经验、知识模型上抽象出数学概念、数学方法、数学思想，演绎建立相应的数学关系，并形成新的经验理论，完成知识的整合提升与再创过程，形成学生独立解决问题的能力。这是我们教学的最终目标，而教师的因势利导，发散思维就是提升课堂效益的优良方法。

二、 利用图像

1.

已知函数g（x）=a-x2（1e≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图像上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（  ）

A. 1，1e2+2B. 1，e2-2

C. 1e2+2，e2-2D. e2-2，+∞

解析：本题主要考查函数图象与概念，设点P（x0，y0）（1e≤x0≤e），在函数g（x）上，点P关于x轴的对称点P′（x0，-y0），在函数f（x）上，所以y0=2lnx0

-y0=a-x20，所以a=x20-2lnx0，1e≤x0≤e，令h（x）=x2-2lnx，1e≤x≤e，h′（x）=2x-2x=2（x+1）（x-1）x。

当1e≤x<1时，h′（x）<0，所以函数h（x）在区间[1e，1）上单调递减;

当10，所以函数h（x）在区间（1，e]上单调递增。h（1e）=1e2+2，h（1）=1，h（e）=e2-2，

因为h（e）=e2-2>1e2+2，所以函数h（x）的最大值为h（e）=e2-2，最小值为h（1）=1。

所以，实数a的取值范围是1≤a≤e2-2。

2.

若函数f（x）=3x2+ex-12（x<0）与g（x）=3x2+ln（x+t）图像存在关于y轴对称的点，则t的取值范围是（  ）

A.

（-∞，1e）B. （-∞，e）

C. （1e，e）D. （-e，1e）

解析：由题可得存在x0∈（-∞，0）满足x20+ex0-12=（-x0）2+ln（-x0+a）

ex0-ln（-x0+a）-12=0，当x0取决于负无穷小时，ex0-ln（-x0+a）-12趋近于-∞，因为函数y=ex-ln（-x+a）-12在定义域内是单调递增的，所以lna

通过比较关于x，y的对称函数，会求函数解析式。利用数形结合让学生准确理解题意。

3.

定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a

A. （1，3）B. （32，3）

C. （1，32）D. （1，32）∪（32，3）

解析：在区间[0，a]存在x1，x2（a

满足f′（x1）=f′（x2）=f（a）-f（0）a=13a3-a2a=13a2-a

∵f（x）=x3-x2+a，∴f′（x）=x2-2x，方程x2-2x=13a2-a在区间（0，a）有两个解。

令g（x）=x2-2x-13a2+a（0

则Δ=4+43x2-4a>0

g（0）=-13a2+a>0

g（a）=23a2-a>0

a>1解得32

在教学过程中始终要引导学生学会思考，善于思考，通过一道题目的多种变式，让学生的思维迁移、发散、开拓，归类总结。形成有序的知识网络化的知识体系，从中领会“化归转化、数形结合、函数与方程”等数学基本思想。引导学生主动参与讨论活动，利用发散思维教学，并注意回归收敛，帮助学生构建、整理、完善系统的知识体系，这就是成功的课堂、有效益的课堂;也因为教学风格的规律化、层次化，教学内容的饱满、知识的串并联，我们的课堂教学就能取得丰硕的成果。

作者简介：

刘仁琴，福建省漳平市，福建省漳平一中。