绝对值复合问题的解法探究

王苑

[摘   要]绝对值是高中数学的基本概念，以其为基础命制的考题比较多.例如，绝对值不等式问题、绝对值函数问题等.解此类问题的关键是采用合理的方式除去其中的绝对值，常用的解题方法有公式法、分类讨论法和数形结合法.

[关键词]绝对值; 复合问题;探究

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）23-0025-02

绝对值是高中数学的重点知识，含有绝对值的问题在高考中出现的频率也很高.含绝对值的问题具有很强的综合性，解法也较为灵活.下面探讨含绝对值的问题的常用解法.

一、公式运用

求解绝对值问题的关键是去绝对值符号，最为常用的方法是结合绝对值的定义、性质，采用公式法求解.例如关注其非负性，使用平方公式;关注其等价关系，使用三角不等式转化，等等.实际解题时需要重点分析问题特点，提炼条件.

[例1]已知不等式[2x-3<3x+1]，试求x的取值.

解析：此题属于常规的含绝对值的不等式问题，可以使用基本的公式来转化.对于a > 0，有[xa][?][x>a]或a>0时，[x

根据绝对值的性质可知[3x+1]> 0，进而可将原不等式转化为-（3x+1） < 2x-3 < 3x+1，则可以构建如下不等式组：[2x-3>-3x-12x-3<3x+13x+1>0]，则有[x>25x>-4x>-13]，

综合可知[x>25]，即x的取值为[x>25].

点评：上述在解含有绝对值的不等式问题时采用了公式法，从而实现了问题的等价转化，构建了对应的不等式组，即采用“绝对值不等式→不等式组”的策略.实际上就是利用综合去绝对值公式和成立条件来构建不等式组，后续取值范围分析时需要从交集角度综合考虑.

二、分类讨论

对于含有绝对值的问题，还可以采用分类讨论的方法，包括零点讨论和参数讨论.前者是在坐标轴上将每个绝对值为零的零点标注出来，利用零点分割数轴，然后讨论各段取值;后者则是结合参数的取值范围来针对性探讨含绝对值的符号.

[例2]已知关于x的不等式[2x-m≤1]的整数解有且只有一个，且为2.

（1）试求整数m的取值;

（2）在（1）成立的前提下解不等式[x-1+x-3≥m].

解析：此题属于含绝对值的不等式问题，解题的关键是采用合适的策略去掉绝对值符号.第（1）问求整数m的值，不等式只含有一个绝对值，利用绝对值的定义可将其转化为[m-12≤x≤m+12]，题干指出不等式的整数解有且只有一个，为2，则可进一步化为[m-12≤2≤m+12]，从而有[3≤m≤5]，分析可知m = 4.

第（2）是在第（1）问的基础上展开的，则不等式变为[x-1+x-3≥4].该不等式中含有两个绝对值，可以采用零点讨论的方式，利用零点来讨论各段的取值.其中的零点为x=1和x=3，则需要分以下三种情况：

①当[x≤1]时，可将不等式转化为1-x+3-x[≥4]，解得[x≤0].则不等式对应的解集应为[xx≤0];

②当1< x [≤3]时，可将不等式转化为x-1+3-x [≥4]，则[x∈?].则不等式对应的解集应为[?];

③当x >3时，可将不等式转化为x-1+x-3[≥4]，解得[x≥4].则不等式对应的解集应为[xx≥4].

综上可知，不等式的解集为[-∞，0?4，+∞].

点评：对于含有一个绝对值的问题，一般结合定义，采用公式法来直接转化.而对于含有多个绝对值的问题，可以采用分类讨论的方法，通过分类来细化取值范围，降低思维难度，实现去绝对值的目的.而在分类讨论的过程中需要注意几点：①确定讨论的域，确保讨论中“不重复、不遗漏”;②确定讨论标准，整个讨论过程只能按照同一标准;③注意总结归纳，分类讨论需要得出有效的结论，这就需要对讨论结果加以综合.

三、数形结合

数形结合是分析代数问题最为有效的方法之一，通过数形结合的方法可以将代数问题形象直观化，从而有效降低解题难度，求解绝对值问题同样可以灵活采用数形结合的方法.

[例3]现已知函数f （x）= [x2+3x]，[x∈R]，如果f （x）-a[x-1] = 0，刚好有四个互不相同的实数根，试求实数a的取值范围.

解析：对于方程f （x）-a [x-1] = 0，根据绝对值的性质可知f （x）[≥0]，[x-1≥0].显然a > 0，方程变形可得f （x）= a [x-1]，则可以将其拆解为两个函数，即f （x）=[x2+3x]和g（x）= [ax-1]，两者的图像关系可分为以下两种情形：

①若y=-[x2-3x]与y=-a（x-1）相切时，如图1所示，此时a=1，结合图像交点可知方程刚好有3个互不相同的实数根;

[图1][图2]

②当y = [x2+3x]与y = a（x-1）相切时，如图2所示，此时a = 9，结合图像交点可知方程刚好有2个互不相同的实数根.

综上，结合图像分析可知，若要使方程刚好有4个互不相同的实数根，则有0 < a < 1或a > 9.

点评：对于含有绝对值的方程问题可以采用数形结合的方法，即首先拆分出函数，结合函数知识绘制对应的函数图像，将问题转化为分析函数图像问题，而曲线的交点就为方程的解.而在作图时需要关注两点：一是注意挖掘题干中的隐含条件，细化参数取值，简化作图;二是注意图像绘制准确，尤其是对于图像的临界位置，需要充分结合相关参数来加以分析.另外，数形结合的过程不需要刻意而为，从条件出发，探索问题转化思路.

总之，绝对值的问题类型很多，且常与其他知识综合考查，常见的有基本的绝对值不等式求值和复合的绝对值函数问题，而基本的性质、定理、公式是求解不等式复合问题的基础，对于其中的函数问题则需要合理利用函数的图像、单调性等知识来突破.从上述例题的突破求解来看，对于较为简单的绝对值问题，可从代数角度，利用代数公式来分析求解，而对于较为复杂的绝对值问题则需要灵活应用解题策略来简化.

[  参   考   文   献  ]

[1]  何安旗.优选转化策略 何愁分类讨论：对一类含参绝对值问题的探究[J].中学数学，2019（11）：39-40+42.

[2]  何文明，夏松明.一类含绝对值二次函数问题的解法探究[J].中学数学教学参考，2017（27）：42-44.

[3]  沈申文.数形结合思想在高中数学教学与解题中的有效运用[J].数学教学通讯，2019（9）：76-77.

（責任编辑 黄桂坚）