椭圆参数方程中参数的几何意义辨析与反思

邱星明

[摘   要]在剖析例题错解的基础上，深入辨析椭圆的参数方程中参数的几何意义， 并从椭圆的参数方程、直线的参数方程、极坐标方程以及普通方程四个视角给出例题的四种正确解法，让学生更好地理解“参数”，提高学生的解题能力.

[关键词]椭圆;参数方程;几何意义

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）23-0022-03

“参数法”是数学解题的一种重要方法.通过设参、用参、消参，化简问题，促使问题得以解决.在应用参数解题时，有两点必须注意：一是新参数的取值范围是否与原变量一样;二是要注意参数的几何意义.就椭圆的参数方程而言，绝大多数学生只会用它来换元，忽略了椭圆参数方程中参数的几何意义，一旦遇到如下问题，就会出错，更有甚者，對照参考答案，发现自己的答案错了，但不知道错在哪里？

一、提出问题

【例题】在直角坐标系[xOy]中，曲线[C]的参数方程为[x=2cosφ，y=sinφ.]（[φ]为参数）以坐标原点为极点，[x]轴的正半轴为极轴建立极坐标系，[A，B]为[C]上两点，且[OA⊥OB]，设射线[OA：θ=α]，其中[0<α<π2].

（1）求曲线[C]的极坐标方程;（2）求[OA?OB]的最小值.

第（1）小题学生都能掌握，故主要针对第（2）小题进行研究.

错解：设[A2cosα，sinα]，因为[OA⊥OB]，则[B2cosα±π2 ，sinα±π2]，所以[OA?OB=2cos2α+sin2α2sin2α+cos2α ][=2+14sin22α].因为[0<α<π2]，所以[sin2α∈0，1]，故[OA?OB]的最小值是[2].

二、辨析纠错

学生出现上述错解的原因主要是不理解椭圆参数方程中参数[φ]的几何意义，错把点A的离心角当作OA的倾斜角.对此，笔者以人教版选修4-4  P27-28的内容来引导学生辨析椭圆参数方程中参数的几何意义.

椭圆的标准方程为[x2a2+y2b2=1a>b>0]，其所对应的一个参数方程为[x=acosφ，y=bsinφ.]（[φ]为参数）其中参数[φ]的几何意义是什么？下面，我们来研究椭圆的几何作图.

如图1，以原点O为圆心，分别以[a，b（a>b>0）]为半径作两个同心圆，设A为大圆上任一点，连接OA交小圆于点B，过点A作AE垂直于x轴，垂足为E，过B作BD⊥AE，垂足为D，设[∠ xOA=φ]，点D的坐标为[x，y]，那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y，由三角函数的定义有[x=acosφ]，[y=bsinφ].

当半径OA绕原点O旋转一周时，就得到了点D的轨迹，它的参数方程是[x=acosφ，y=bsinφ.]（[φ]为参数）这是中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆.

由图1可以看出，参数[φ]是点D所对应的圆的半径OA（或OB）的旋转角（称为点D的离心角），而不是OD的旋转角.

本例的错解中，设[A2cosα，sinα]，则在图2中对应于[∠DOx=α]，由[OA⊥OB]，错把点B设为[2cosα±π2 ，sinα±π2].为便于说明，我们设[B为2cosα+π2 ，sinα+π2]，实际上是把半径OD逆时针旋转[90°]到OG，从图2可以看出，[∠AOB≠90°]，与条件不符，从而得到错误的答案.

有钻研的学生会追问：如果本题就用椭圆的参数方程，应如何求解？为了能利用椭圆的参数方程解决本题，我们先探求参数[φ]和旋转角[α]的关系.

如图1，设∠xOA=[φ]，∠xOD=[α]，并设点D的坐标为（x，y），则[x=acosφ，y=bsinφ，]又[x=ODcosα，y=ODsinα，]  当[φ和α]的终边不在坐标轴上时，可得[sinφcosφ=asinαbcosα]，设[sinφ=tasinαcosφ=tbcosα]，代入椭圆的参数方程得[x=tabcosα ，y=tabsinα.]由[sin2φ+cos2φ=1]，得[ t2=1a2sin2α+b2cos2α].在此基础上可得本例的参数方程解法.

解法1：设[A2cosφ，sinφ]，由前述探索，可设[A2tcosα，2tsinα]，则

[OA=2t2cos2α+2t2sin2α=21+sin2α].

因为[OA⊥OB]，所以[OB=21+cos2α].

则[OA?OB=][22+14sin22α]，

当[α=π4]时，[OA?OB]取最小值[43].

点评：从概念辨析的角度来看，应让学生明确椭圆的参数方程中参数的几何意义，并会用它来解此类问题，但这种解法并不是解此类题的最好方法.

三、转换角度

我们知道，凡涉及线段长度问题应用直线的参数方程或曲线的极坐标方程都是很好的选择.下面我们分别用这两个工具来解题.

解法2：依题意可设直线OA的参数方程为[x=tcosα，y=tsinα.]（[t]为参数）代入曲线[C]的普通方程得[t2cos2α2+sin2α=1]，设点A对应的参数为[t1]，则[t1=21+sin2α].

设点B对应的参数为[t2]，由已知可得[t2=21+cos2α]，

所以[OA?OB=t1t2=][22+14sin22α].

故当[α=π4]时，[OA?OB]取最小值[43].

解法3：由（1）知曲线[C]的极坐标方程为[ρ2=21+sin2θ].根据题意，射线[OB]的极坐标方程为[θ=α±π2].

[OA=ρ1=21+sin2α]，[OB=ρ2=21+cos2α]，

[则OA?OB=ρ1?ρ2][=21+sin2α?1+cos2α≥][21+sin2α+1+cos2α2=43].当且仅当[α=π4]时，

[OA?OB]取得最小值[43].

点评：解法2、3分别应用了直线的参数方程和曲线的极坐标方程，从解题角度来看，优于应用椭圆的参数方程的解法.在教学中应让学生明确直线的参数方程中参数的几何意义和曲线的极坐标方程中[ρ，θ]的几何意义.灵活运用它们来解题，有立竿见影的效果.

很多学生因为对参数或[ρ]的意义掌握不好，怕用参数方程或极坐标方程解题，越怕就越不会用.如何利用普通方程求解呢？

解法4：依题意可设直线OA的方程为[y=kx]，其中[k=tanα>0]，

代入橢圆方程[x22+y2=1]，消去y得[x2=21+2k2]，

所以[OA=x2+y2=21+k21+2k2]，

因为[OA⊥OB]，所以直线OB的斜率为[-1k]，可得[OB=2k2+1k2+2]，所以[OA?OB=21+k21+2k2k2+2]，

令[t=1+k2>1]，[OA?OB=2-1t-122+94]，

当[t=2]，即[k2=1]时取得最小值[43]，因为[0<α<π2]，此时[k=1， α=π4].故[OA?OB]的最小值为[43].

四、反思总结

学生出现解题错误，我们第一反应就是学生所学的知识没有掌握好，解题能力有欠缺或者粗心.但是给了参考答案，学生也不理解.除了上述原因外，还有没有其他需要我们反思的问题？针对本案例，笔者进行了思考，提出以下的三条建议.

1.课前要“研”.教师要做研究型的教师，教师研究的内容很多，可以有：研方向、研教材、研试题、研教法、研学法.若教师平时不研究，也不备课，凭经验去上课，必然目标不明，错漏百出，训练不到位，教学效率低下.

2.课中要“活”.课堂上，应该学生学得主动，教师讲解生动，师生良序互动，思维碰撞灵动.教师教法灵活，解法灵活，一题多解，一题多变，一题多用.要让学生敢于质疑，师生共同纠错.应当强调，纠错是提高课堂教学有效性，特别是讲评课教学有效性的重要手段.本文从学生考试中的错解出发，通过回归课本，应用椭圆的几何图形，让学生正确理解椭圆的参数方程中参数的几何意义，对参数[φ]和OA的旋转角[α]进行了深入辨析.本文还从椭圆的参数方程、直线的参数方程、极坐标方程以及普通方程四个视角给出了四种正确解法，不单是辨析了概念，还通过一题多解，启迪学生思维，拓展学生思维的广度与深度，提高学生的解题能力，提升学生的数学学科素养.

3.课后要“实”.考试、作业、批改、辅导、反思、错题订正、关爱学生、与学生结对子等都需要落到实处，这是提高教学有效性的必经之路.

（责任编辑 黄桂坚）