案例分析辅助圆在初中数学解题中的应用

魏瑞宾

（福建省漳州市长泰县第二中学，福建漳州 363900）

引 言

初中几何学有时需要使用非常麻烦的解决方案，如使用连续相似性来获得长度或角度关系；添加必要的辅助线解决平面几何问题等。在通常的问题解决中，画辅助线是最熟悉和最常用的手段。在某些情况下，教师可以构建全等图形，通过平移、旋转、折叠等方式获得，这被称为构建辅助图形。实际上，教师还可以构建辅助圆。许多问题的结论或证明过程可以通过与圆相关的一些知识或属性直接获得。但是，此时的圆并不存在（标题中可能存在已知条件）。此时，教师必须从已知条件开始，利用图形作出辅助圆。这要求学生要学会全面思考，结合已知条件并理解圆的知识。例如，在两点之间，可以绘制无数个圆；通过不在同一条直线上的三个点，可以作一个圆。圆有两个定义：圆点与同一个圆上的点具有相同的距离，以及“三点共圆”。实际教学中经常将这两个定义结合来解决大多数问题。

一、距离一个点相同距离的所有点形成一个圆

当研究该主题的已知条件时，学生会发现所有固定点的线段是相等的。连接这些点，可以构造一个辅助圆。有些问题看起来似乎和圆毫无关系，但条件或结论提供了一些类似于圆的性质的信息。此时，可以构建相关的辅助圆，从而把原始问题转换为与圆相关的问题[1]。

例1： 如图1 所示， 在四边形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=DB=p，BC=q。求对角线AC的长度。

分析：从“AD=DC=DB=p”可以看到，点A，B和C均在半径为p的⊙D上。AC与p和q的关系可以通过圆的性质找到。

解：如图1 所示，将CD延长到E点，然后连接AE。可以明显地看出点A，B和C都在⊙D上。

∵AB∥CD，

在ΔACE中，∠CAE= 90°，CE= 2p，AE=q，

二、在该条件下存在45°的锐角时，可以考虑构建辅助圆

例2：如图2 所示，在ΔABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC= 45°，BD= 3，CD= 2。求ΔABC的面积。

分析：这个问题可以通过找到△ABC的高AD来解决。利用“∠BAC=45°”这个条件，可以构造一个以∠BAC为圆周角的辅助圆，根据圆的相关知识可以求得高AD的长度[2]。

解：如图2 所示，作△ABC的外接圆，OE垂直BC于E点，从∠BAC= 45°可以知道∠BOC=90°，那么△OBE，△OBC是等腰直角三角形, 又因为OE=EC=BE=所以ED=CE-CD= 0.5，易证OF⊥AD，则四边形OEDF为矩形，因此OF=DE= 0.5，DF=OE= 2.5 。在RtΔAOF中，由毕达哥拉斯定理得AF= 3.5，因此AD=AF+FD= 6，即×6 = 15。

另一种解决方案（建设相似性）：如图3 所示，构造等腰直角△BDE和等腰直角△CDF所以，点E和点F在AD上。易得DE=DB= 3，DF=CD= 2，所以FE=DE-DF= 1。设AE=x。 由∠BAD+∠ABE=∠BED= 45 °， ∠BAD+ ∠DAC= ∠BAC= 45 °， 得 ∠ABE=∠DAC，又因为∠BEA=∠AFC= 180°-45°=135°，所以△BEA～△AFC。然后利用相似三角形对应线段成比例，得到x= 3（负根已经舍去）。因此，AD=AE+DE= 6。

图3

三、当条件中的角是另一角的两倍时，可以考虑构建 一个辅助圆

例3：如图4 所示，在ΔABP中，PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC和PB相交于点D，若PB= 4，PD= 3，则AD·DC等于（ ）。

A. 6 B. 7 C. 12 D. 16

分析：根据已知条件可以构造以P为圆心，PA为半径的辅助圆。根据“∠APB=2 ∠ACB”这个条件可以得出点C在⊙P上。AD·DC的值可以通过圆的相关知识来获得[3]。

解：如图4 所示，从交点和弦定理将BP延长到E点，得到AD·DC=DE·DB=（PE+PD）·（PB-PD）=（4 + 3）×（4-3）= 7。因此答案是B。

图4

四、探索移动点作为固定线段角度的辅助圆

例4：如图5 所示，在Rt △ABC中，AC= 5，BC= 12，∠ACB= 90°，P是AB上的动点，Q是BC上的动点，已知∠CPQ= 90°，求CQ的取值范围[4]。

图5

分析：以CQ作为⊙O的直径，依据直径所对的圆周角等于90 度。若AB上的动点P在圆上，则∠CPQ=90°。当⊙O与AB相切时，直径CQ为最小值。

由切线长度定理得AP=AC= 5，所以BP= 13-5 = 8。根据切割线定理得BP2=BQ·BC，所以BQ= 16/3，CQ= 20/3当点Q与点B重合时，直径CQ为最大值，即 12。

综上：20 /3 ≤CQ≤12。

结 语

综上所述，案例分析辅助圆在初中数学解题过程中有非常重要的作用，学生如果能够运用自如，那么将在考试或更高层次的学习中达到事半功倍的效果。再者，这个方法对培养学生的数学思维是非常有效果的，能够帮助学生增强对数学知识的理解。因此，广大教学工作者应该积极地将这种方法运用到自己的教学实践工作中，以提高广大学生的数学能力。