空集问题知多少

■河南省太康县第一高级中学

近几年高考加大了对集合运算的考查,考查学生的抽象思维能力,以及数形结合和分类讨论思想的运用,而分类讨论是解决集合问题的常用方法。由于分类讨论的步骤比较烦琐,且容易重复或遗漏,空集就是一个很容易忽视的地方,所以本文从多个方面来介绍遗漏空集的情形,希望能引起同学们的注意。

一、应用空集的定义解题

例1 已知N={(x,y)|a x+2y+a=0},若M∩N=∅,则a=( )。

考查意图：本题主要考查集合的含义,空集的含义,将集合问题转化为平面直角坐标系中两条直线的位置关系问题。

分析：集合M表示直线y=3x-3(x≠2)上的点集,而集合N表示直线a x+2y+a=0上的点集,分析已知条件,则两条直线没有公共点即可,有两种情况,分别求解。

解：由(x≠2),若M∩N=∅,则:

①点(2,3)在直线a x+2y+a=0上,即2a+6+a=0⇒a=-2;

②直线y=3x-3与直线a x+2y+a=0平行,所以

综上可得,a=-2或-6。

二、应用空集的性质解题

例2 已知集合A={x|x2=1},集合B={x|a x=1},若B⊆A,求实数a的值。

考查意图：本题以方程的解为载体,考查了集合的子集概念。

分析：本题条件为方程的解所构成的集合,由条件B⊆A,可对集合B的情况进行分类,从而求出a的值。解题时一定要注意空集的性质,空集是一个不含任何元素的集合,是任何集合的子集,是任意非空集合的非空子集。

解：由题知A={1,-1},因为B⊆A,当B=∅时,则a=0;当B={1}时,则a=1;当B={-1}时,则a=-1。综上可得,a∈{0,1,-1}。

三、应用空集的实质解题

例3 已知B={x|m+1≤x≤2m-1},若A∪B=A,求实数m的范围。

分析：由A∪B=A,得B⊆A。而B是由参数m所确定的集合,m在不同的范围内,可能使得B为非空数集,也可能使得B为空集。

解：A={x|x2-3x-1 0≤0}={x|-2≤x≤5}。

①若m+1＞2m-1,即m＜2时,B=∅,适合题意。

②若m+1=2m-1,即m=2时,B={3},适合题意。

③若m+1＜2m-1,即m＞2时,要使B⊆A成立,只需解得-3≤m≤3,从而可得2＜m≤3,适合题意。

综上可得,实数m的范围为(-∞,3]。

综上可得,满足条件的a组成的集合为,故其子集共有23=8(个)。

跟踪训练：

1.设A={x|x2-8x+1 5=0},B={x|a x-1=0},若A∩B=B,求实数a组成的集合的子集的个数。

解析：集合A化简得A={3,5},由A∩B=B,知B⊆A。

(1)当B=∅,即方程a x-1=0无解时,得a=0,符合已知条件;

(2)当B≠∅,即方程a x-1=0的解为3或5时,代入得

2.已知集合A={x|a x2+2x+1=0,x∈R},a为实数。

(1)若A是空集,求a的取值范围;

(2)若A是单元素集,求a的值。

解析：(1)若A是空集,则只需a x2+2x+1=0无实数解,当a=0时,显然方程有解,故a≠0,所以只需Δ=4-4a＜0,即a＞1。

(2)当a=0时,原方程化为2x+1=0,解得

当a≠0时,只需Δ=4-4a=0,即a=1。

综上可得,a的值为0或1。

3.若集合M={x|x2+x-6=0},N={x|a x-1=0},且N⊆M,则实数a的值为

解析：M={x|x2+x-6=0}={-3,2}。

当a=0时,N=∅,则N⊆M;

当a≠0时,要使N⊆M,则需或2,解得

4.已知集合A={x|-2＜x＜3},B={x|x2+2x-8＞0},C={x|x2-4a x+3a2＜0},若C⊆(A∩∁RB),求实数a的取值范围。

解析：由x2+2x-8＞0⇒x＞2或x＜-4,所以B={x|x＞2或x＜-4},所以A∩∁RB={x|-2＜x≤2}。

由x2-4a x+3a2＜0可化为(x-a)·(x-3a)＜0。

当a=0时,C=∅,符合要求;

当a＞0时,C={x|a＜x＜3a},由C⊆

当a＜0时,C={x|3a＜x＜a},由C⊆

综上可得,实数a的取值范围为

解析：由已知得,直线y=k(x-b)过点(b,0),故当b∈[-3,3]时,∀k∈R,M∩N≠∅,则当b∈(-∞,-3)∪(3,+∞)时,∃k∈R,使得M∩N=∅成立。所以符合条件的实数b的取值范围是(-∞,-3)∪(3,+∞)。

复习建议：空集在集合中占有重要地位,当题目中隐含空集时,很容易忽视,这需要我们弄清题目的含义,搞清空集的实质,在平时学习中,要养成反思、检验的解题习惯,尤其要反思是否有忽视的地方。

与集合有关的小故事：悖论

悖论就是自相矛盾的命题,如果承认它是正确的,则可以推出它是错误的。而如果它是错误的,又能推出它是正确的。

也许你会说,哪里会有这样的事呀!如果真是这样,世界还不闹得一团糟!让我们看一看下面这个小问题,你就会明白了。在一个村子里,只有一位理发师,他为自己定下了这样一条规矩：“我只为那些不给自己刮胡子的人刮胡子。”那么理发师是否能给自己刮胡子呢?现在我们假设理发师可以给自己刮胡子,那么他就成为“给自己刮胡子的人”。而按照他的规矩是不能给“自己刮胡子的人”刮胡子的,所以他不能给自己刮胡子。反之,如果理发师不给自己刮胡子,他就成为“不给自己刮胡子的人”。而按照规矩他应该给“不给自己刮胡子的人”刮胡子,因此他又应该给自己刮胡子。自作聪明的理发师为自己制定了一个进退两难的规矩。也许你会问,这是怎么回事?事实上,这个问题是由1 9世纪数学家希尔伯特提出的著名的“理发师悖论”。这一悖论的提出,指出康托尔集合论的理论基础的不足之处,促进了集合论的发展。所以悖论的提出并不可怕,它只是表明数学理论的基础缺乏完备性。只要完善理论基础,就可以避免悖论的产生。