弹性板结构的声表面波陀螺研究*

吴荣兴, 李晓东, 于兰珍, 郑 东, 王海林

(1.宁波职业技术学院 建筑工程学院,浙江 宁波 315800；2.宁波大学 机械与力学学院, 浙江 宁波 315211)

0 引 言

由于声表面波器件具有体积小、精度高和敏感性强等优点,已被广泛地应用于各类传感器技术领域[1,2]。声表面波器件所处环境场特性的改变将引起声波传播特性的变化,因此,可以通过测量声学特性的改变来检测环境因素的变化[3～5]。各种声表面波气体、液体和质量等各类传感器被设计出来,部分器件已经达到了实用化[6～8]。在惯性传感领域,主要研究集中于理论方面,也就是陀螺效应对声表面波的影响研究[9]。理论研究表面哥氏力对声表面波的传播有抑制作用,并且存在着对应关系,可以用来检测旋转场的角速率。但是这些模型都是基于半无限大弹性体结构,而真实声表面波器件一般为层状板型结构[10]。与此同时,声表面波陀螺效应传感器实验研究被逐步开展,但实验样机分辨率不高,且对小速率旋转场基本无法检测到有效信号[11,12]。这样就迫切需要建立更为精确的声表面波陀螺效应传感器模型,并精确分析声表面波在其结构内部的传播特性。

本文分析了考虑陀螺效应的声表面波在各向同性弹性板中的传播特性,获得了波速、波形和旋转场之间的对应关系,为实际声表面波陀螺效应传感器的制作提供了理论指导。

1 基本方程

带旋转场的各向同性弹性板如图1所示,声表面波沿着x1方向传播,这里仅考虑绕x1和x2的旋转场,不考虑绕x3方向的旋转场。

图1 带旋转场的各向同性弹性板

当声表面波在如图1所示的各向同性弹性板中传播时[13～15],假设位移模式为

u1=A1ekβx2eik(x1-ct),u2=A2ekβx2eik(x1-ct)

(1)

式中u1(u2),A1(A2),k,β,x1(x2),c和t分别为各向同性弹性板的位移、振幅、波数、衰减系数、坐标、波速和时间。

基于式(1)的位移假设,获得应变为

S1=ikA1ekβx2eik(x1-ct),S2=kβA2ekβx2eik(x1-ct),

S6=k(βA1+iA2)ekβx2eik(x1-ct),S3=S4=S5=0

(2)

式中Sj(j=1,2,…,6)为各方向的应变。

基于应变式(2),可以得到应力为

T1=k[(λ+2μ)iA+λβB]ekβx2eik(x1-ct),

T2=k[λiA+(λ+2μ)βB]ekβx2eik(x1-ct),

T3=kλ[iA+βB]ekβx2eik(x1-ct),

T6=kμ[βA+iB]ekβx2eik(x1-ct),

T4=T5=0

(3)

式中Tj(j=1,2,…,6),λ和μ分别为各方向应力和弹性板材料的拉梅常数。

带旋转场的各向同性弹性板的运动方程为[13]

(4)

式中ρ和Ω1(Ω2)分别为各向同性弹性板的材料密度和两个方向旋转场的频率,ü1(ü2)为位移u1(u2)对时间变量t求导两次。

将应力表达式(3)代入式(4),经整理后得到

(5)

给定波速c,对式(5)进行数值求解,可以获得衰减系数β的4个根。这里需要指出的是,由于旋转场的存在,这里获得衰减系数β并不是成对的[14]。因此，保留全部4个衰减系数,重写位移如下

u1=(B1ekβ1x2+B2ekβ2x2+B3ekβ3x2+B4ekβ4x2)eik(x1-ct),

u2=(B1α1ekβ1x2+B2α2ekβ2x2+B3α3ekβ3x2+B4α4ekβ4x2)

eik(x1-ct)

(6)

αj=A2(βj)/A1(βj),j=1,2,3,4

(7)

基于新的位移假设式(6),可以获得各方向的应变和应力,这里给出相关应力表达式如下

T2=k[λi+(λ+2μ)α1β1]B1ekβ1x2+k[λi+(λ+2μ)α2β2]B2ekβ2x2+k[λi+(λ+2μ)α3β3]B3ekβ3x2+k[λi+(λ+2μ)α4β4]B4ekβ4x2,T6=kμ([β1+iα1]B1ekβ1x2+[β2+iα2]B2ekβ2x2+[β3+iα3]B3ekβ3x2+[β4+iα4]B4ekβ4x2)

(8)

式中 为了表达方便,各式省略了eik(x1-ct)。

如图1所示各向同性弹性板的边界条件为

T2(x2=0)=T6(x2=0)=0,

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T2(x2=-h)=T6(x2=-h)=0

(9)

式中h为弹性板的厚度。

将应力表达式(8)代入边界条件式(9),可以得到

MB=0

(10)

式中 振幅向量为B={B1,B2,B3,WB4}T。

这里没有列出系数矩阵M的非零元素。若带旋转场的各向同性弹性板中存在声表面波振幅的非零解,必然要求系数矩阵M的行列式值为零[15,16]。这样就建立了声表面波在带旋转场的各向同性弹性板中的传播方程,可以用于分析旋转场对声表面波传播特性的影响。

2 数值计算

为了计算简单,对弹性板厚度进行归一化处理

H=h/ξ,kξ=2π,kh=2πH

(11)

式中H和ξ分别为弹性板的归一化厚度和声表面波波长,这里取铝板作为研究对象。为了验证推导的正确性,可以绘制无旋转场时波速和归一化弹性板厚度的关系曲线图如图2所示。

图2 各向同性弹性板的波速—板厚曲线

从图2可以发现,随着弹性板厚度的逐渐增加,声表面波波速的上下分支分别趋向半无限大弹性体的声表面波波速[14,15]。特别是弹性板厚度在4个波长以上,获得的波速与半无限大弹性体的结果非常接近,这就说明声表面波的振动能力主要集中于4个波长以内。并且这里获得归一化波速与先前的研究结果一致[14,15]。

可以进一步绘制绕不同坐标轴旋转时旋转频率和波速的关系曲线图如图3所示。

图3 各向同性弹性板的波速—旋转频率曲线

这里需要指出的是图3的各向同性弹性板的厚度都是2个波长,ω是声表面波的频率。从图3可以发现,随着旋转场转速的增加,声表面波波速逐渐减小。由旋转场引起波速变化的灵敏度来看,绕x1轴旋转灵敏性更大,并且波速和转速的一一对应关系完全提供了检测的可能。因此，在实际声表面波陀螺效应传感器设计中,应该将器件设计在旋转场的合理方向[12]。

旋转场不仅改变了声表面波波速,而且将会对声表面波的波形存在影响。常用器件都是将传感器放置在绕x2轴的中心位置,因此，可以进一步分析陀螺效应对声表面波波形的影响[1]。基于式(10)的求解,可以进一步定义位移为

u1=(Cekβ1x2+Cζ2ekβ2x2+Cζ3ekβ3x2+Cζ4ekβ4x2)eik(x1-ct),

u2=(Cα1ekβ1x2+Cα2ζ2ekβ2x2+Cα3ζ3ekβ3x2+Cα4ζ4ekβ4x2)

eik(x1-ct)

(12)

式中C和ζ1(ζ2,ζ3,ζ4)为重新定义的振幅和振幅比,定义如下

ζj=Bj(βj)/B1(βj),j=1,2,3,4

(13)

基于新位移表达式(12),可以绘制出位移的波形图如图4所示。

图4 各向同性弹性板的位移

图4的纵坐标是归一化各向同性弹性板的厚度,横坐标是基于式(12)的位移表达式,没有给出振幅C的数值,因此横坐标不存在单位。图4表明当声表面波在2个波长厚度的各向同性弹性板中传播时,位移呈现出对称和反对称模态,图4(a)和图4(d)是位移的反对称模态,图4(b)和图4(c)是位移的对称模态。图4也表明绕x2轴旋转效应对声表面波波形影响不大,没有破坏其对称和反对称模态的基本波形[13]。这就表明在实际低转速的声表面波陀螺效应感应器设计中,可以不考虑声表面波波形变化的影响[13]。

3 结 论

分析了陀螺效应对声表面波在各向同性弹性板中传播特性的影响。研究结果表面陀螺效应对声表面波波速有着显著影响,特别绕声表面波的传播方向旋转时,影响效应更为明显。随着旋转场转速的增加,声表面波各波速都将减小。对应的关系可以为实际声表面波陀螺效应传感器提供指导。通过绘制声表面波波形图,发现低转速的陀螺效应会轻微改变声表面波的波形的对称和反对称模态,但是这种影响不大。各种声波器件一般都是层状结构,因此,这里建立的模型更接近于实际的声表面波陀螺效应传感器。