巷道围岩塑性软化区粘聚力变化规律理论新解

2019-09-26马芹永徐辉东

安徽理工大学学报（自然科学版） 2019年3期

经纬，张坤，杨简，马芹永,3，徐辉东

(1.安徽理工大学土木建筑学院，安徽淮南 232001；2.中煤矿山建设集团有限责任公司安全科学与工程博士后科研工作站，安徽合肥 230000；3.安徽理工大学安全科学与工程博士后科研流动站，安徽淮南 232001；4.深部煤矿采动响应与灾害防控国家重点实验室，安徽淮南 232001)

长期以来，关于围岩变形分区的研究成果很多[1-17]，但可用的解析成果很少，关键原因在于巷道围岩塑性软化阶段内摩擦角和粘聚力随环向应变变化规律的认识方面存在分歧。关于内摩擦角方面，文献[18]18-30以大量的国内外的试验结果已经给予了论证，此处不再分析。但时至今日，粘聚力方面的争论依然不休。关于塑性软化阶段粘聚力随环向应变变化规律的描述除了非线性和线性两种情况之外，还有一种观点认为该阶段的粘聚力是常量。之所以会出现多种观点并存的现象，根本原因在于解析解的不足，另外，多种观点并存也表明了该问题尚有进一步研究的必要。本文的研究就是基于这样一个背景展开的，目的就是为了给出一个较为符合实际且科学合理的变化规律的解答。

围岩变形分区解析分析中的另一个关键制约因素是塑性软化区径向上环向应力与径向应力之间的关系，同时这一关系也是研究该区域粘聚力随环向应变变化规律的基础，下面首先对此展开研究。

1 塑性软化阶段环向与径向应力关系

塑性软化阶段环向与径向应力之间关系是围岩塑性软化阶段粘聚力随环向应变变化规律的研究基础，下面首先依据围岩应变软化模型对其进行剖析。

(1)围岩应变软化模型介绍

依据文献[18]34-40可知围岩应变软化模型有两种(见图1)，其中一种以应力差(σ1-σ3)为纵坐标，另一种以σ1为纵坐标，前者来源于以(σ1-σ3)为纵坐标的全应力——应变曲线及相应的稳定蠕变终止轨迹线[19-20]，后者来源于以σ1为纵坐标的全应力——应变曲线及相应的稳定蠕变终止轨迹线。

关于模型的形成机理在文献[18]34-40中已有详细描述，此处仅给予简单介绍。

图1所示的两模型均为基本模型，所谓基本模型是指围岩所有变形破坏形式均发生情况下的对应模型。由于围岩所有的变形破坏形式共有4种：弹性变形、塑性硬化(源于稳定蠕变)、塑性软化(部分源于强度破坏、部分源于不稳定蠕变，并且变形稳定后在卸载路径上的位置位于对应围压下的全应力——应变曲线峰后阶段中长期强度与残余强度之间)、破碎(源于强度破坏或部分源于不稳定蠕变且在卸载路径上位于相应的全应力——应变曲线峰后阶段中残余强度之后)。正是因为围岩中最多会出现4中变形破坏形式，故围岩的基本变形分区类型必然是4分区，相应的围岩应变软化模型必然是4阶段模型。值得强调的是图2所示的模型是对应于围岩沿径向的应力——应变关系曲线的围岩应变软化模型，与源于全应力——应变关系曲线的3阶段应变软化模型具有本质上的差异。

图1 两种围岩应变软化模型示意图

模型中共有4段折线：OD(OD′)、DM(D′M′)、MQ(M′Q′)和QG(Q′G′)，分别对应着弹性变形区、塑性硬化区、塑性软化区和塑性流动区(破碎区)。

由于MQ对应的塑性软化区沿径向的环向应力与径向应力之间的关系直接影响到该区域岩石粘聚力沿径向变化规律的确定，故需首先进行分析。

值得强调的是图1是4阶段围岩应变软化模型，也有文献给出了3阶段应变软化模型和2阶段应变软化模型的研究成果，虽然存在有三种围岩应变软化模型，但在塑性软化阶段的“线性”规律方面都表现出了高度一致性，相关的理论研究在文献[21]就给予了剖析。

(2)塑性软化区沿径向的环向应力与径向应力之间关系

图1中的两个模型是同一巷道围岩应变软化模型的两种表示形式，两模型中的D与D′对应于围岩中的同一点、M与M′对应于围岩中的同一点、Q与Q′对应于围岩中的同一点、G与G′对应于围岩中的同一点。由于表示纵坐标轴的应力变量的差异，故MQ和M′Q′两直线的斜率以及纵轴上的截距必然都不一致，相应的线性方程式也不一致，具体见式(1)和(2)。

σ1-σ3=k1ε1+b1

(1)

σ1=k2ε1+b2

(2)

式中：σ1、σ3分别是塑性软化区的环向应力和径向应力，MPa；k1是MQ的斜率、k2是M′Q′的斜率；b1是MQ在纵轴上的截距，m；b2是M′Q′在纵轴上的截距，m；ε1是塑性软化区的环向应变。

联立求解(1)和(2)并经整理即可获得径向应力随环向应变变化规律的表达式(3)。

σ3=(k2-k1)ε1+(b2-b1)

(3)

联立求解(2)和(3)，并消除其中的环向应变ε1后即可获得沿围岩径向环向应力与径向应力之间的关系式(4)。

(4)

对于一个既定巷道，图1中的两个围岩应变软化模型一定是既定的，因此相关的参数k1、k2、b1、b2均是常数，于是得到结论：塑性软化区沿巷道径向方向上环向应力与径向应力之间呈线性关系，径向应力与环向应变之间也呈线性关系。

2 塑性软化阶段粘聚力变化规律分析

围岩塑性软化阶段粘聚力随环向应变的变化规律，涉及因素较多，解析分析难度较大，与此相关的因素主要包括：相应阶段的内摩擦角、单轴抗压强度、围岩沿径向的环向应力与径向应力之间的关系等，下面就从这些相关因素入手来逐渐剖析这一规律。

(1)粘聚力与单轴抗压强度之间关系

依据库仑准则可知，处于某一破坏状态的岩石粘聚力取决于两个因素：岩石单轴抗压强度和内摩擦角，具体数值可依据(5)式计算获得。

(5)

式中：σcS为图1中S或S′对应的单轴抗压强度，MPa。CS为对应于S点(或S′点)的岩石粘聚力，MPa。φS为对应于S点(或S′点)的岩石内摩擦角，度。由于不同围压下全应力——应变曲线峰后阶段的内摩擦角基本一致[22]2 203，故针对图1中的塑性软化阶段，φS可视为一常量。

(5)式显示围岩塑性软化阶段的粘聚力与对应的单轴抗压强度值呈正比例关系，因此，围岩塑性软化阶段粘聚变化规律的研究可以借助围岩塑性软化阶段单轴抗压强度变化规律的研究间接获得。

(2)强度拟合直线与塑性软化阶段σ1-σ3关系直线

依据文献[18，22]80-98，2 208的研究，在图2所示的坐标平面内，峰值强度拟合直线① 、长期强度拟合直线② 与残余强度拟合直线④ 呈近似平行关系。

对比图1和图2，图2中的长期强度拟合直线② 上一定有一个点与图1中的M点呈一一对应关系，为了便于分析，图2中的该一一对应的点也用M表示。同理，图2中的残余强度拟合直线④ 上也有一个点与图1中的Q点呈一一对应关系，该对应点也用Q表示。显然，图2中MQ之间的连线⑤ 对应的方程正是公式(4)表示的方程，在图2所示的坐标平面内，公式(4)也可表示为式(6)所示的形式。

σ1=k3σ3+σBo

(6)

(7)

对于图1中的任意点S(或S′)点，显然其在图2中的MQ直线上有一个一一对应的点，为了便于对比分析，该点也用符号S表示。由于图1中S(或S′)点对应的岩石内摩擦角与M、Q两点对应的岩石内摩擦角相等，故图2中过S点且与直线①、②、④ 相平行的直线也必是一条拟合直线，该直线上其它各点对应围压下的岩石的变形破坏性质必与S(或S′)点的变形破坏性质一致，如同峰值强度拟合直线上的所有点的变形破坏性质都是岩石发生极限抗压强度破坏一样，虽然围压不同，但极限抗压强度破坏的性质都是一样。

于是图2中的直线① 、② 、③ 、④ 都是强度拟合直线，只不过对应于不同程度的变形破坏而已。如此一来，根据图2所示的坐标平面的性质，4条拟合直线在纵坐标轴上的截距就是相应变形性质所对应的单轴抗压强度(σcb、σcm、σcs、σcw)，其中σcm、σcs和σcw分别一一对应于图1中的M、S和Q点。

因不稳定蠕变的存在，围岩中最大的环向应力值只可能是相应围压下的长期强度值，故峰值强度拟合直线对应的单轴抗压强度σcb不会出现在围岩塑性软化阶段对应的单轴抗压强的集合内。

图2 塑性软化阶段粘聚力变化规律分析示意图

(3)塑性软化阶段粘聚力变化规律

现在通过数学理论先求解σcs随围岩环向应变的变化规律，然后再进一步确定粘聚力CS的变化规律。

首先，图2中过点Mo(直线②与纵向坐标轴的交点)作水平直线MoH与直线⑤ 相交于H点，过So点(直线③与纵向坐标轴的交点)作水平直线SoP与直线⑤ 相交于P点，两水平直线的方程分别为

MoH：σ1=σcm

(8)

SoP：σ1=σcs

(9)

联立求解式(4)和式(8)，即可获得H点的水平坐标，即线段MoH的长度。

(10)

同理，联立求解式(4)和式(9)，即可获得P点的水平坐标，即线段SoP的长度。

(11)

下面依据相似三角形关系确定σcs。

图2中，因ΔBoSoP∽ΔBoMoH，故存在下列比例关系

(12)

整理得到

(13)

由于((σ3)P，σcs)是图3中直线⑤ 上P点的坐标，而直线⑤ 上的每一点在图2的塑性软化阶段上都有一个一一对应的点，其中S点有一个一一对应的点S((σ1-σ3)S，(ε1)S)或点S′((σ1)S，(ε1)S)，P点同样有一个一一对应的点P((σ1-σ3)P，(ε1)P)或P′((σ1)P，(ε1)P)。显然，图2中的P点既满足式(1)，也满足式(2)，自燃也满足式(3)，于是可得式(14)

(σ3)P=(k2-k1)(ε1)P+(b2-b1)

(14)

将上式代入(13)式即可获得σcs的进一步表达式如式(15)

(15)

将上式代入公式(5)并经整理后可得塑性软化阶段粘聚力的表达式