试论一种特殊情形的二维多普勒效应的简化处理
2019-09-26何武奎马增山何文明
何武奎 马增山 何文明
(1何武奎,华北油田第一中学,河北 沧州 062552; 2邯郸市第一中学,河北 邯郸 056002)
1 运动参考系的确定
设在二维平面内波源S和观察者A分别以恒定速度vs、vA运动,两速度方向夹角为任意角θ,我们的任务是要找到一个运动参考系O-xy,使得在这个参考系中波源S和观察者A沿同一直线运动。
将波源S和观察者A的速度平移到同一点O,过O点做两速度末端连线的垂线,规定这是y轴,那么过O点的垂直方向直线即为x轴,这就是我们要找的运动参考系,如图1所示。
图 1
规定这个运动参考系的速度就是vs、vA在y轴上的投影速度vy,
即vy=vscosα=vAcosβ
由vscosα=vAcosβ,α+β=θ
vs和vA在x轴上的投影分别为
由以上讨论可知,在动系O-xy中,波源和观察者分别以v′s、v′A沿x轴匀速运动
2 波速u的变化
再考虑到波源和观察者同时经过轨道交叉点,二者在动系中的速度方向必然相反,也即彼此远离,则本文讨论的特殊情形二维多普勒效应的公式应为
再强调一下,公式中正负号选取规则:在我们所选的动系中,源S和观察者A都背离对方运动,所以分子取负号,分母取正号。
3 对运动参考系的补充说明
图 2
如果动系速度v′指向图2的y轴右侧,可作同样的分析而结论不变。这样看来,本文开始所提出的运动参考系应该是解此类问题的最简单参考系。
4 应用举例
两辆汽车A与B,在t= 0时从十字路口O处分别以速度vA和vB沿水平的、相互正交的公路匀速前进,如图3所示。汽车A持续地以固定的频率ν0鸣笛,求在任意时刻t汽车B的司机所检测到的笛声频率ν′。已知声速为u,且有u>vA、vB。
图3
在动系x轴上A、B两车投影速度由前文公式得
点评:(1)本题是22届全国中学生物理竞赛复赛第六题,我国著名的物理竞赛专家舒幼生教授曾对这道题作了深入的研究,指出若用普适的多普勒公式求解,计算非常烦琐。该题的标准答案计算量相对简洁一些。但是若采用本文所论及的方法会更简单方便。(2)具体解题时,求动系速度vy、S和A在动系x轴上的分速度v′s、v′A,不必(也没必要)套用本文中所给的几个公式,而是记住本文的思路就能方便地解出这几个量。