学术研讨论文选登电动力学典型例题拓展： 接地导体球置于均匀外电场中

赵海军 李洋阳 张振海

(山西师范大学物理与信息工程学院，山西 临汾 041004)

电动力学是物理系主干课程之一，该课程的习题编选是教学中重要的部分．这方面的研究也比较多[1-4]．一些习题受到了更多的关注，出现在各种教课书中，其中有些甚至在大多数的教科书中被列为例题[5]。但是多数的教科书中使用例题的目的也只是用它来具体表现刻下所讲的知识点。并没有充分发掘和扩展该例题，使它可以将一系列的相关知识联系起来。本文中，挖掘和扩展了一个物理系教师所熟知的例题，以一个例子来展示例题的扩展对教学是有益的。

1 接地导体球置于均匀场中

多数的电动力学教科书有这样一道例题：匀强电场E0中存在一个接地导体球(设导体球上所带电荷代数和为零)，求空间电势φ与面电荷密度σ[5,6]。

通过求拉普拉斯方程满足给定边界条件的解，可以解决该问题。球内电势为零，球外电势为

(1)

观察球外空间电势形式，会发现若将电势表达式看作两部分，一部分是匀强外电场形成的电势φ0，另一部分是与导体球上电荷有关的电势φp。由导体球表面电荷分布σ的特点可知：可以把导体球上的电荷的效应看作球心处的一个偶极矩为p的电偶极子。将偶极子形成电势的表达式与φp比较可以得到导体球的电偶极矩p的形式。从电势分布也可以得到电场E。上面谈到的4个物理量(φ、σ、p和E)可以任意两两相互推导得出，如图1所示。

图1 电场、偶极矩、感应电荷面密度和电势之间关系

2 由φ直接导出E、p和σ

2.1 由φ直接导出E

电场与电势之间存在微分关系

(2)

将式(1)代入式(2)，并在球坐标系下求解，可得沿各坐标的分量

(3)

利用E0=E0cosθeR-E0sinθeθ可以将上式写为矢量形式

(4)

2.2 由φ直接导出p

空间电势可看作分别由匀强电场电势和等同于偶极子的导体球上的电荷分布产生的电势的代数和。匀强电场的电势是已知的(式(1)中等号右面的第一项)，再结合偶极子电势表达式便可以推导出电偶极距。偶极子产生的电势为

(5)

与式(1)中等号右面第二项对比，即可得到

(6)

2.3 由φ直接推导σ

将式(1)中的电势表达式代入边值关系的势表达式

(7)

即可得到导体球面电荷密度

(8)

3 由p导出E、φ和σ

3.1 由p直接推导E和φ

将式(6)代入式(5)，再加上匀强电场的势即可得到电势表达式，该表达式与式(1)一致。

偶极子产生的电场为

(9)

将式(6)代入到上式，然后再叠加上E0即可得到电场。得到的电场与式(4)一致。

3.2 由p经E推导σ

我们不能找到合适的方式由偶极矩直接推导出球面上的感应电荷分布。但是，利用高斯定理可以由电场分布求得感应电荷分布。如图2所示，一扁圆柱形高斯面的底面位于球内，顶面位于球外，顶面和底面积都很小，可以认为它们与球面平行，圆柱很扁，顶底两面贴着球面。

图2 由电场推导感应电荷面密度时所用的高斯面

通过该高斯面的电通量等于顶面、底面和侧面电通量之和。底面所处区域电场为零，侧面面积趋于零。球面电通量即为顶面的电通量，它等于所围的电荷除以真空介电常数：

(10)

ΔS方向为R，大小为ΔS。由式(10)可以得到感应电荷面密度，与式(8)一致。

4 由σ导出p、E和φ

4.1 由σ直接推导出p

由电荷分布可以导出偶极矩，在学生学习多极展开之前即可由这一简单例子产生印象。如图3所示，导体球上半球面上任一面元电荷为σdS，它与下半球面对应点的面元电荷构成的电荷体系偶极矩为

dp=2σRcosθdS

(11)

其方向与外均匀场E0方向一致。整个球面上的电荷的偶极矩为

它与式(6)一致。

图3 由感应电荷面密度推导对应偶极矩示意图

4.2 由σ推导出φ和E

若直接使用公式

或

不能帮助我们得到电势和电场的分布。因为，以上两个公式并不适合目前这种无穷远处场强不为零的情况。所能采用的办法可以是使用前一小节得到的偶极矩，如3.1小节所述，由偶极矩可得到场和电势的分布。

5 由E直接导出φ、σ和p

5.1 由E直接推导出φ

空间中一点R处的电势为

(12)

具体计算时，将R0设为球心到R连线与球面相交点，积分路径设为从R到R0的直线。由式(12)可知

(13)

其中，利用了φ(R0)=0。上式与(1)式一致。

5.2 由E直接推导出σ和p

3.2小节已经给出了由E直接推导出σ。这里主要给出由E直接推导出p。由式(9)我们知道p产生的电场为

(14)

由式(4)可知球面上的电荷产生的电场为

(15)

比对式(14)和(15)即可得到

(16)

6 结语

通过求解前面典型例题和推导各物理量之间的相互关系，我们给出了电势、电场、感应电荷和感应电荷对应的偶极矩。这4个量两两之间有的可以直接导出，有的需要借助其他量导出，它们之间的关系由图1给出。

这一例题的扩展涉及了静电场的多个知识点，有利于帮助学生认识相关物理量的关系。