“起点型”核心知识教学路径探寻

吴玲

小学数学知识多而杂，在有限的教学时空内抓住核心知识教学已经成为数学教育界的共识。如何抓住核心知识进行教学，让学生的数学学习能够举一反三、驾一驭万？笔者认为，教师在教学中可以抓住起点型知识，因为起点型知识具有“种子特质”，能播撒、繁衍、派生出诸多知识。在整个数学知识教学中，“起点型”核心知识具有筑基的性质以及生产知识的天然活性 [1]。抓好“起点型”核心知识，是让学生数学核心素养落地生根的必然的教学路径。

一、探寻：“起点型”核心知识有哪些？

纵观小学数学知识，梳理小学数学教材，可以发现，“起点型”核心知识包括蕴含数学基本思想、基本方法的数学知识，包括数学的基本原理、基本关系、基本问题，包括知识的关键节点、拐点等。在小学数学教学中，许多学生数学学习出现学习障碍、错误时，我们基本上都可追根溯源，从学生起点型知识处找到成因。那么，在数学教学中，我们如何探寻“起点型”核心知识呢？

1. 基于“纲目关系”的“起点型”核心知识

数学知识是一个有机的知识整体。从逻辑上看，知识关系主要有纲目关系、属种关系、交叉关系等。其中，纲目关系的知识呈现为一种递进性、因果性，一个数学知识点往往是另一个数学知识点的基础 [2]。具有纲目关系的数学知识结构犹如计算机中根目录和子目录的关系。比如“运算律”，不仅可以用来进行“整数四则运算”，而且可以运用到“小数四则运算”“分数四则运算”之中。在这里，“运算律”就具有纲领作用，教学中必须夯实、筑牢。

2. 基于“属种关系”的“起点型”核心知识

属种关系的“起点型”核心知识是一种具有包容、上下位关系的知识。上位数学知识派生出下位数学知识，上位数学知识是“属”，下位数学知识是“种”。其中，属性知识外延较大，内涵较浅，而种性知识外延较小，内涵较深。比如平行四边形、长方形、菱形和正方形，就是具有属种关系的知识。对于“属种关系”起点型核心知识，必须让学生把握其内涵和外延。

3. 基于“交叉关系”的“起点型”核心知识

千丝万缕的数学知识，还具有一种“交叉关系”。这些具有交叉关系的数学知识往往是相互衍生、转化的。对于交叉关系的数学知识，其交叉节点非常重要，往往是这类数学知识的“咽喉”。比如“分数乘法、除法应用题”和“比的运用”等相关内容，就具有鲜明的交叉性。其中，把握“量”和“率”之間的对应关系，对相关条件进行转化，是贯穿其中的主要分析方法。在这个过程中，“份数”和“比”是有效转化工具。妙用“份数”和“比”，实现关键句转化，让“量”和“率”对应是教学之核心。从这方面来看，“交叉关系”的“起点型”核心知识，往往是一些节点性知识，因为这类知识具有多向生长性。

如上所述，“起点型”核心知识是数学知识的“干细胞”，是学生数学学习的“先行组织者”。“起点型”核心知识的一个重要特质是具有自我生长性、自我繁衍性，还具有迁移力、启迪力、吸附力、解释力，其往往处于知识群中心，有着奠基性功能，发挥着结构性、枢纽性作用。

二、实践：“起点型”核心知识怎样教？

《义务教育数学课程标准（2011年版）》已初步将数学知识划分为四大类，即“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”。这样的划分，有助于教师增强知识属性认知。实践中，教师更应站在知识整体高度，统筹驾驭“起点型”核心知识。过去，有教师因为对“起点型”核心知识认识模糊，导致教学高耗低效。那么，在实践中，我们该如何教学“起点型”核心知识呢？

1. 确定“起点型”核心知识

确定“起点型”核心知识是数学教学的第一步。知识起点，不仅指逻辑起点，还指学生的现实起点。逻辑起点要求教师深入研读教材，而现实起点要求教师深入研究学生。教学《认识厘米》，有教师对如何测量一个物体边或线段长度只是轻描淡写地“教方法”，比如从“0刻度”开始测量，是几就读几;比如从任意刻度开始测量，然后用终端刻度减去起始刻度等。这种教学，学生也能掌握测量厘米的方法，但却没有提升学生的数学活动经验，更没有渗透数学思想方法。如果我们深入研究小学数学教材，就会知道“认识厘米”的教学不仅是单个知识点的教学，更是一个知识群的教学。“认识厘米”在整个知识群中具有种子作用，属于“起点型”知识。

从测量厘米的原理来看，就是要看“几厘米长的物体边或线段有几个1厘米那么长”，这样的认知为学生后续学习“用1平方厘米、1平方分米等面积单位去测量物体表面或者平面图形的面积”“用1立方厘米、1立方分米等体积单位去测量物体体积”奠定了基础，对“长方形的面积教学”“长方体的体积教学”以及“角的度量”等知识的教学也有着迁移作用。通过问卷调查可以发现，学生对这部分起点型知识的认知经验是空缺的。当教师确定数学知识“起点性”后，就要重点围绕“起点性”展开教学。基于“认识厘米”的起点性，笔者在教学中首先让学生建立清晰的“厘米”表象。在此基础上，笔者又引导学生将“1厘米”串接起来，形成“厘米尺”的雏形。如此，学生自然能认识到，测量物体长度，其本质就是看“物体长度里包含有多少个单位长度”。有了丰富的活动经验，有了深刻的感悟，就能生成学生数学核心素养。

“起点型”核心知识具有原点生发价值，对学生后续相关知识的学习具有原点引领、思想方法启迪、活动经验助推等作用。对于数学起点型核心知识，教师要着力体现知识展开过程。只有当学生经历、体验了“起点型”核心知识的诞生后，才能深刻把握“起点型”核心知识。

2. 种植“起点型”核心知识

对于“起点型”核心知识的教学，笔者选用了“种植”两个字，其意就在于：“起点型”核心知识具有种子的性质。对于“起点型”核心知识的教学，教师要精耕细作，将这些知识深埋在学生心里，让它生根发芽且能独立生长。要下大力气，让学生充分经历、体验、感受、感悟。在数学教学中，知识是由少到多、由点到面、由此到彼、由弱到强的不断生成过程。在一定的条件下，“起点型”核心知识能让其他知识结成知识体。

比如“平行四边形”“长方形”“菱形”和“正方形”是一组结构性知识，其中“平行四边形”的概念是“起点型”知识。为此，在教学中，教师要让学生深刻理解、准确把握起点型知识。对于“平行四边形”，教师要突出“两组对边分别平行”的特质，而由“两组对边分别平行”衍生出来的“一组对边平行且相等”“对角相等”等特质则可适度淡化。因为，从“平行四边形”“长方形”“菱形”和“正方形”的整个知识结构来看，架起知识结构的就是“两组对边分别平行”的特质。换言之，一个图形，只要两组对边分别平行就是平行四边形，比如长方形、正方形。学生认识到：长方形和正方形的两组对边分别平行，因此它们就是平行四边形;而梯形由于只有一组对边平行，所以不是平行四边形。教师可以提供多元变式，凸显知识的本质属性。

“起点型”核心知识，需要教师不断对其进行固着，以便让后续教学更为顺畅有效。如果我们将一个数学知识群看作一个立体交叉的巨无霸路网，核心知识为主干通道，那么“起点型”知识就是连接主干道的枢纽。学生对起点型核心知识的理解程度，决定着知识群建构的效度。

3. 生长“起点型”核心知识

“起点型”核心知识具有生长性。作为教师，要努力促进其多向迁移、生长。一般而言，以“起点型”知识为根基，可以让数学知识形成树状、簇状等。从知识关联来看，“起点型”核心知识犹如一个“带钩的原子”，具有连接、牵引其他相关数学知识的功能。教学中，教师要放大这些功能，让“起点型”核心知识具有更大的吸附性、固着性、接纳性，从而不断生长、扩张、繁殖，形成知识簇、知识丛、知识群。

以“认数”的教学为例，“认数”在小学阶段的教学是按部就班、循序渐进的。在小学阶段，“认数”主要包括“万以内的数”“整万的数”“含有万级、个级的数”以及“含有亿级、万级、个级的数”。其中“万以內的数”和“整万的数”是整个“认数”的“起点型”核心知识，学生掌握了这样的知识，就能顺应知识生长，建构出“含有万级、个级的数”以及“含有亿级、万级、个级的数”。因为“万以内的数”能让学生掌握读数、写数的规则，而“整万的数”能让学生掌握数级的概念。当学生掌握这两个“起点型”核心知识后，就能顺利地实现知识的嫁接。从这里可以看出，数学“起点型”核心知识可以不止一个，也可成组出现，同时也是相对而言的。教学中，要凸显“起点型”核心知识的生长特性，这种特性有时只是数学知识建构的一个属性，因而需要强化、凸显。

数学知识建构是相辅相成、和谐共生的。作为教师，要准确定位“起点型”核心知识，不断丰富和完善数学知识结构，让学生洞察起点型核心知识的位置、作用和功能 [3]。只有不断丰满“起点型”核心知识的内涵，让学生明晰其边界，感悟其意义，才能让知识形成链、构成体。

参考文献：

[1]  魏光明. 小学数学“起点型核心知识”教学初探[J]. 人大复印资料·小学数学教与学，2018（8）.

[2]  钱红明. 选好“种子”知识，上好“种子课”[J]﹒ 江苏教育（小学教学），2015（21）.

[3]  周兴苗. 依托学习起点，构建数学知识——“面积”教学的实践与思考[J]. 数学教学通讯，2014（4）.