基于经验，超越经验：数学知识建构的基本脉络

蔡春妹

在学习心理学的相关研究中，经验有着重要的地位。比如说奥苏伯尔曾经说过，“假如让我把全部教育心理学仅仅归纳为一条原理的话，那么我将一言以蔽之：影响学习的唯一最重要的因素就是学生已经知道了什么，要探明这一点，并依此进行教学。”这儿所说的学生已经知道了什么，就是指学生的认知基础，而在学生的认知基礎当中，经验占着重要的一些地位。无独有偶的是，现今比较流行的建构主义学习理论，也将学生的先前经验作为学习发生的必要因素之一。而从小学数学教学的实践来看，学生的经验确实占着重要地位。很多时候，我们发现学生的知识无法有效的构建，就是因为学生缺少经验的缘故。有人说，“教育是一种生长，生长的具体过程和内在机制可以概括地表述为‘经验的改组或改造。”基于这样的价值考量，他们提出了数学化教学的思路，并且认为数学教学应从学生的现实数学世界出发，与教材内容发生交互作用，让学生在经历知识再创造的过程中建构自己的数学体系，以实现其经验增长、意义建构和精神发展。

毫无疑问，儿童学习是依靠经验思维的，在数学的学习过程中要把学生的生活及其个人直接经验作为教学的起点，要关注儿童视角，尊重儿童认知。基于此，笔者认为，在小学数学教学中要基于经验，然后超越经验。这应当成为小学数学知识建构的基本脉络。

一、基于经验，小学数学知识建构的基础

当我们将经验视作数学学习的基础时，意味着我们的面前会出现两种情形：一种情形是，学生在数学学习过程中有困难却难以矫正的现象，这实际上是学生在建构知识的时候缺少有效的经验所导致的。另一种情形是，由于有丰富的经验作为支撑，数学概念或者规律的构建非常顺利。

比如，在教“百分数”的时候，笔者从生活当中提取了一个素材，作为情境创设的材料，于是就提了这样一个问题：小明跟着妈妈去商场买羊绒衫，他妈妈问了营业员一个问题：“这件羊绒衫是全羊绒的吗？”营业员回答说：“百分之一百的羊绒。”同学们知道这里说的“百分之一百”是什么意思吗？

问题提出之后，学生的观点分为两种：一种观点认为营业员就是说这件羊绒衫是全羊绒的意思;而另一种观点则认为营业员并没有表达全羊绒的意思。笔者在教学当中做了一个有心人，就是让这两种不同观点的学生分别讲出自己的理由。持前者观点的学生说：“我听我爸说过，百分之一百就是‘全部的意思，如果不是‘全部，就不能说是百分之一百。”持后者观点的学生则说：“我在生活当中经常听到有人说百分之一百，但是很少有‘全部的意思，有的时候倒好像是吹牛似的……”应当说，两个学生都是基于自己的生活经验所做出的判断。但是由于生活经验的准确与否，也就影响了判断的结果正确或不正确。

从这里我们也可以看出，经验对于数学学习确实有着重要的影响。其实在上面的例子当中，无论学生原来有着什么样的经验，都可以引向百分数的教学。甚至我们还可以认为，两种不同的观点，可以让学生对百分数的认识更加准确。在实际教学中，笔者是这样做的：我们在买羊绒衫的时候，需要知道羊绒的含量，也就是一件衣服当中羊绒占多少，占比越多，羊绒衫的保暖效果也就越好。而为了表示这种占比，数学上就引入了百分数这个概念。所谓百分数，就是一个数是另一个数的百分之几。比如说在羊绒衫的例子当中，如果一件羊绒衫全部是羊绒，那就是将羊绒衫分成一百份，而每一份都是羊绒，于是我们就说它的百分比是100%。等学生理解100%这个意义之后，再去解释上面例子当中另一个观点，其实就可以发现，在生活当中有时候用100%来描述某个事情，实际上是想强调这件事情的“完全”“全部”的特征，偶尔也会遇到夸张的情况，这实际上恰恰体现了百分数的作用。

实践表明，通过类似于上面的表述，学生可以在自己的认知经验的基础之上，更准确的理解百分数。这就是基于学生经验进行数学教学的意义。

二、超越经验，小学数学知识建构的保障

基于经验，也不是说完全被经验所约束。基于经验的目的是为了超越经验，只有超越了经验，超越了生活语言，用数学语言去描述生活经验，使生活经验上升为数学经验。这种数学知识的建构过程，就能彰显出数学学科的本质意义。

在经验的基础上超越经验，并不是一件轻而易举的事情。其涉及学生对数学语言、数学符号的理解。比如在上面所举的百分数的学习例子当中，百分数作为一个数学概念，学生是如何理解的呢？笔者通过调查发现，不同的学生实际上理解的角度是不一样的：有的学生将“百分”作为一个关键词，认为百分数就是一个分成一百份的数;有的学生则将“分数”作为一个关键词，认为百分数是一个与一百相关的分数。这种理解如果我们不进行细致的调查是无法发现的，而无法发现学生的这一认知，意味着后面的教学有可能是在建造空中楼阁。其实我们仔细分析学生的这一认知，可以发现，他们就是在自己原来的认知基础上，对百分数做出了不同的理解。这样的理解也可以视作是一个超越经验的跳板，笔者在教学中是这样处理的——先向学生提出问题：百分数的关键词是百分还是分数？我们大家不妨来想一想，在我们的生活当中，有哪些地方遇到过百分数？

这个问题的提出，其实还是为了激活学生的经验。有学生说在他知道我国的耕地面积是世界耕地面积的7%;也有学生说在许多的饮料瓶上会发现营养的百分数;还有学生说在电脑上用迅雷下载电影的时候，会显示百分比……当学生所举的例子多了以后，意味着分析与综合的思想方法可以得到充分运用。笔者提出了一个问题，驱动学生由生活经验向数学经验转变：有了分数，人们为什么还要建立百分数这么个概念？

带着这个问题，学生开始思考。思考的结果是：在生活的不同地方，不同场合，常常有比较的需要，而比较的对象又常常存在着占比关系。如果采用分数的话，由于分子不同，分母也不同，这样比较起来就比较麻烦。而如果将分母统一为一百，那么通过百分数就能一目了然地发现占比的高低，所以百分数在生活当中有着非常广泛的运用，同时它在数学当中又是一种特殊的分数……思考至此，不论是百分数还是分数，已不重要了，重要的是学生对百分数的认识已经完整了。在笔者的课堂上，这样的认识都是学生自己建立起来的，这说明他们对分数的认识已经触摸到了本质，从而也就完成了从生活渐渐向数学经验的转变，他们已经能够在潜意识当中用数学语言去理解百分数，同时又能够自觉地用百分数描述其他的例子。在笔者看来，这是一种可贵的学习意识，一种理解的数学知识又将数学知识反哺于生活励志的意识。

实际上，所谓的超越经验，其实就是生活向数学的转变。对生活实例进行思维加工，将其中非数学的因素去除，留下与数学相关的因素，然后用数学语言来描述这种因素，这就完成了经验的超越。

三、数学经验，小学数学学习的重要目的

在小学数学教学中，一定不能将数学学习的对象理解为用语言、文字和符号表示的数学知识。如果这样理解，那么小学生的数学学习行为一定是一个枯燥的过程。反之，将数学学习的过程理解为数学经验不断积累的过程，这是符合小学生的认知规律的。因为小学生本来就不擅长符号的学习，而擅长经验的积累。所以在数学教学中，我们要充分利用学生已有的经验，促进学生将数学直接经验与已有的知识进行科学的融合，这样就可以形成具有典型数学价值的“数学化经验”，这些“数学化经验”则不断“分裂”和“生长”成为数学基础知识和基本技能。

这样的描述，对于数学学习过程而言，是理想状态的一种描述。因为在这样的状态当中，学生的数学学习过程一定不是一个枯燥的加工符号的过程，正如上面百分数的例子当中，学生思维加工的对象一直是生活当中的百分数实例，通过分析与综合，通过数学抽象，百分数的概念逐渐清晰，从而也就完成了这一内容的学习。

由此可见，数学经验的积累是小学数学学习的重要目的之一。立足于这样的目的，学生的数学学习过程会更加轻松，数学学科核心素养的培育也就更容易得到实现。