元素·关联·循环

张茂年

所谓“结构”，就是事物各个组成部分的搭配和序列。瑞士心理学家皮亚杰在《结构主义》一书中强调：结构是一个整体、一个系统、一个集合，是一个心理系统或整体。小学数学知识元素，在教材中是以“点”的形态呈现的，如何“连点成线”“连线成面”“勾面成体”，是结构化教学要研究的实践课题。传统数学教学，往往是教师一节一章地教、学生一节一章地学，这在一定程度上，阻滞了学生发展。教学中，教师应当从整体上把握数学，通过每一节课的渗透、孕伏，做到前有铺垫、后有延伸。只有当教师在数学教学中找到知识元素的“突触”，才能将数学知识结构化，从而引导学生抓住本质，提升学生的数学学习力，发展学生数学核心素养。

一、探寻元素：结构化教学的前提

所谓“元素”，是指“事物最根本的构成要素”。构成知识点有基本元素，比如小数的元素有整数部分、小数点、小数部分;分数的元素有分子、分母、分数线等;三角形的元素有三角形的边、顶点、角等;圆的元素有圆心、半径、直径、周长等。对于一个知识点而言，只有当学生深入理解知识点元素时，学生才能真正理解知识点。对于知识点来说，知识点的构件是元素，而在知识结构中，一个个知识点又是基本元素。

寻找元素，并将元素与元素用线条、箭头、图式、核心词等勾连起来，就是结构化教学的前提。比如知识点元素的联结，寻找它们之间的关联、体系。比如数学知识元素的链接，像二年级的“角的认识”，“认识角”其实要反映的是认识“体中有面”“面上有角”“角有一个顶点和两条边”，这样自上而下，能够寻找知识元素之间的关联、结构，能刷新学生的数学视界。再比如，教学《平均数》，如果教师只是着眼于平均数，那么就只能在平均数中兜圈子。作为统计领域中的一个平均数，它到底怎样反映“统计与概率”领域的一些核心知识，我们可以“用数据说话”来将所有的统计知识关联起来，因为事实上，几乎所有的统计知识都是围绕数据收集、整理、表达和应用来展开的。在数学教学中，我们不仅可以围绕数学知识元素进行关联，也可以围绕数学方法元素进行关联。比如学生在一年级学习《9加几》时运用到“凑十法”，而到了二年级就需要学习“凑百”，三年级就需要学习“凑千”，四年级就需要学习“凑小数”，五年级就需要学习“凑分数”，尽管这些知识的形态不一样，而回到方法层面却是一致的，这就是“凑整法”。这种“凑整”的思想将会贯穿学生一生的数学学习之中。数学教学中，教师要主动寻求链接、关联，对数学知识进行整体性表征。

探寻知识元素，有助于学生理解数学知识的本质内涵、内在关系、变化规律等，有助于实现数学知识之间的形态转化，有助于助推学生结构性思维品质的提升。如此，引导学生连点成线、连线成面、连面成体，实现学生认知图式的自我意义建构，促进学生数学核心素养的自主发展。

二、探寻关联：结构化教学的实施

所谓“关联”，是指知识之间的牵连、联系。过去，有教师只有到了复习阶段，才将数学知识有意地关联起来，这样的“联”是一种显性的联。关联知识元素，不仅包括显性之联，也包括隐性之联。格式塔心理学研究表明，人都有一种“完形”的心理需求，都有一种使一种完形改变成另一种完形的心理倾向。探寻关联，就是让数学知识进行显性或隐性的重组、整合，从而认清事物的内在关联、结构和性质。

数学知识之间的关联，不仅仅包括内容关联，也包括方法关联、思想关联。比如，教学《异分母分数加减法》（苏教版小学数学教材五下），教师就要有意识地将知识点进行融通、关联。在进行“异分母分数加减法”的探究过程中，学生会用画图的策略、转化的策略、通分的策略。比如，学生在画图的过程中，需要深刻理解分数的意义，理解分数单位;学生在转化的过程中，需要联通分数与小数之间的关系;学生在通分的过程中，需要运用分数的基本性质等。这里，不仅体现了新旧知识间的关联，而且体现了不同素材（如折纸、涂色等）之间的关联。不仅如此，当学生认识到所有的方法背后的思想方法就是：只有分數单位相同才能直接相加或相减。联系“整数加减法”“小数加减法”，学生就能认识到，尽管这些知识的表述形态不一样（末位对齐、小数点对齐、分数单位相同），但它们的内在本质、内涵却是一致的，都是“只有计数单位相同才能直接相加减”。有了这样的上位认识，就会有助于学生数学学习的迁移、应用。这样的认识，不仅仅局限于计算，而且对于名数的加减也有着积极的促进作用，乃至于对后续学习（比如解方程、初中阶段的合并同类项等知识）都有积极的启发、启示作用。

在探寻关联的过程中，学生就能自觉地关注数学核心知识，从而能形成核心素养。也就是学生在数学学习过程中，在不经别人提醒、启发、诱导的情况下，而能自主地会冒出一些“念头”，产生一种“想法”。这种“念头”“想法”等，其实就是一种思维素养，是一种更加上位、更加具有统整性的思考品性、品格或者习惯。

三、探寻循环：结构化教学的标识

结构化教学认为，学生的数学学习是一个螺旋递进、螺旋上升的过程。这种螺旋递进、螺旋上升的过程就是一个“循环”的过程。显然，循环不是简单地、机械地重复，而是一种数学思想方法的延展。这种“循环”包括知识本身循环、学生认识的循环、价值的循环等。探寻循环，是结构化教学的标识。通过循环，学生对知识主动进行归纳、概括，主动进行解释、运用，主动进行提炼、内化。借助循环，学生能不断建立、完善新的知识结构，形成包摄力更大、统摄性更强的知识结构，为学生的数学学习孕伏、渗透，奠定坚实的基础。

一般地，这种循环更多地体现在练习、总结和问题的拓展延伸上。在练习中，学生需要将数学知识融会贯通，并且是一种恰如其分的融会贯通。在总结中，学生需要对学习过程、学习内容等进行结构性回顾、概括，提炼数学知识精髓。在延伸中，会渗透一些结构性的思想，让学生进行结构性思考，让学生在数学问题解决策略方面形成一种结构性意向。通过总结、练习，数学外在知识结构被转化为学生内在思维结构、认知结构。这里，要突出数学知识自内而外、自下而上的结构性生长。比如，教学《解决问题的策略——转化》（苏教版小学数学五年级下册），就有必要对小学阶段数与数、形与形、数与形的转化进行梳理、提炼。如在“数的转化”领域，有“小数除法转化成小数乘法”“除数是小数的除法转化成除数是整数的乘法”“分数除法转化分数乘法”，等等;如在“形的转化”领域，主要有“平行四边形的面积转化成长方形的面积”“三角形、梯形的面积转化成平行四边形的面积”“圆的面积转化成长方形的面积”“圆柱的体积转化成长方体的体积”“圆锥的体积转化成等底等高的圆柱的体积”，等等。通过对知识结构的揭示，学生就会认识到，贯通这些数学知识的数学思想方法就是“转化”，也就是要“化陌生为熟悉”“化复杂为简单”“化未知为已知”，等等。学生就会认识到，从某种意义上说，数学学习就是一种循环，是一种思想方法的循环，是一种观念的循环。

结构化教学提倡根据知识的内在关联，让知识条理化、结构化。有时候，数学知识之间的结构是不那么明显的，教师要努力探寻知识之间的关联。在小结、练习和拓展中形成结构、渗透结构，让学生在结构中形成大观念、高观点和具有统摄性的数学思想方法等。这些高观点、大观念和具有统摄性的数学思想方法是学生数学核心素养的重要组成，也是学生数学学习力的重要组成，能助推学生的数学学习。

知识化、碎片化的数学教学状态呼唤着结构化教学。结构化教学是一种回归数学知识本质的教学，是一种促进学生数学素养发展的数学教学。它契合数学知识的特质和学生的认知规律，能让学生数学知识结构与学生认知结构生长对接起来。教学中，教师要充分地依据结构、主动地探究结构、生成结构、拓展结构，从而发展自我的结构性思维。在结构化教学导引下，师生、生生能主动地探究新知，获得方法，能让学生的数学学习真正地、深度地发生。